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Mathematik » Strukturen und Algebra » Separabel und inseparabel erzeugte Körpererweiterung
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Universität/Hochschule J Separabel und inseparabel erzeugte Körpererweiterung
LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-14 20:48

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Hey,

die Aufgabe:

Sei L/K eine Körpererweiterung und a aus L separabel sowie b aus L rein inseparabel über K. Beweise:
1: $K(a,b) = K(a+b)$
2: $K(a,b) = K(a\cdot b)$, wenn a und b ungleich 0 sind.

Meine Ansätze führen aber zu nichts nennenswertem. Hat jemand einen Tipp?

Danke und Grüße
Lukas


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄
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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-14 21:39


1. Sei $p = \mathrm{char}(K)>0$ (wenn die Charakteristik $0$ wäre, folgte $b \in K$ und die Behauptung wäre trivial). Überlege dir zunächst (eventuell hattet ihr es bereits), dass für $a \in L$ separabel über $K$ stets $K(a) = K(a^p)$ gilt. Es folgt allgemeiner $K(a) = K(a^{p^n})$ für $n \geq 0$. Weil $b$ rein inseparabel ist, gibt es ein $n \geq 0$ mit $b^{p^n} \in K$. Was kannst du nun über $(a+b)^{p^n}$ aussagen? Folgere $K(a) \subseteq K(a+b)$ und damit weiter die Behauptung.

2. geht genauso wie 1.



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-15 19:05


Danke für die Antwort.

Ich habe nun 1. und 2. bewiesen. Danke sehr!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄



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LukasNiessen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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