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Universität/Hochschule DGL erster Ordnung
RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-15 16:01


Hallo. Ich arbeite aktuell an dieser Aufgabe:



Dazu habe ich folgendes berechnet: \(\frac{dy}{dx} = 2e^{x^{2}}x\sqrt{y}  \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{y}}dy=2e^{x^{2}}x dx\)
Dies wird gelöst zu:
\[\int_{}^{} \! \frac{1}{\sqrt{y}}  \, dy = \int_{}^{} \! 2e^{x^{2}}x \, dx \] \[\Rightarrow y=\frac{e^{x^{2}}+c }{2}  \]
Damit Anfangsbedingung erfüllt ist:

\[\frac{e+c}{2} = \frac{e^{2}+ 2e+1 }{4} \] \[\Rightarrow c=\frac{e^{2}+2e+1 }{2e} \]
Ist das so korrekt?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-15 16:09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo RogerKlotz,

da ist dir gleich zu Beginn ein Fehler passiert: der Term \(\sqrt{y}\) muss per Division auf die linke Seite kommen. Die getrrennte DGL sollte also so aussehen:

\[\frac{\on{dy}}{\sqrt{y}}=2x\ e^{x^2}\on{dx}\]

Gruß, Diophant

EDIT: und es gibt auch eine Lösung, die man nicht durch TdV und Integration sondern im Prinzip durch "scharfes Hinsehen" erhält. Siehe auch hier den Beitrag von wally weiter unten!


[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'DGLen 1. Ordnung' von Diophant]
\(\endgroup\)


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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-15 16:18


Hallo. Danke für die Antwort. Steht auch so in meinen Unterlagen. Tippfehler...ist korrigiert.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-15 16:21


Hallo,

die Lösung passt aber immer noch nicht (es wird ja nach der Integration noch quadriert).


Gruß, Diophant



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-15 16:41


richtig.

Daher gestaltet sich das Ganze wie folgt:
\[y=\frac{e^{2x^{2}}+c^{2}  }{4} \]
Für AWP:

\[\frac{e^{2}+c^{2}  }{4}= \frac{1}{4}(e+1)^{2}  
\Rightarrow c=2e+1 \]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-15 17:23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

nein, die Lösung der DGL lautet

\[y=\left(\frac{e^{x^2}+C}{2}\right)^2\]
Und da muss man jetzt für das AWP im Grund nur noch einmal scharf hinsehen...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-15 18:22


Und dann gibt es eventuell noch eine konstante Lösung (je nachdem wie "Lösung" bei euch definiert ist).

Viele Grüße

Wally



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