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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » DGL lösen durch Trennung der Variablen
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Universität/Hochschule DGL lösen durch Trennung der Variablen
RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-15 16:13


Hallo Zusammen,
folgende Aufgabe habe ich gelöst:



Lösungsweg:

\[x^{2} \frac{\dd y}{\dd x} -y = 0 \Leftrightarrow \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{y}{x^{2}} \] \[\Rightarrow \int_{}^{} \! \frac{1}{y}  \, dy = \int_{}^{} \! x^{-2}  \, dx \] \[\Rightarrow ln(y) =-\frac{1}{x} + C\]
Bei dem nächsten Schritt bin ich mir nicht sicher, ob das einfach so geht.

\[\Rightarrow y=Ce^{-\frac{1}{x} } \] Kann ich das C einfach als Faktor davor ziehen?
Für Anfangsbedingung:

\[\frac{2}{e} = C \frac{1}{e} \] \[\Rightarrow C = 2\]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-15 16:17


Hallo,

hier stimmt fast alles.

Siehe dazu den Beitrag #4 von wally


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'DGLen 1. Ordnung' von Diophant]



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-15 16:19


Vielen Dank 🙂



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-15 18:28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Ich finde nicht, das alles stimmt  - die Lösung \( y=C e^{-1/x} \) ist richtig. Aber der Weg dahin hat drei Fehler:

1. \( y=0\) ist auch eine Lösung. Die bekommst du nicht, weil du dann durch Null teilen würdest.

2. Eine Stammfunktion von \( 1/y\) ist \( \ln |y|\). Bei dir gibt es keine negativen Lösungen, weil \( \ln y\) für negative \( y\) nicht definiert ist.

3. \( \D e^{-\frac{1}{x}+C}=  e^{-\frac{1}{x}}\cdot e^C\), und \( e^C\) kann nur positive Werte annehmen.

Aber wie gesagt, alle Fehler gleichen sich wunderbarerweise aus.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-15 19:12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo wally,

danke für deine Aufmerksamkeit. Da war ich zu nachlässig, sorry.

@RogerKlotz:
Mache dir an Hand der richtigen Schreibweise aus Beitrag #4 und auch der Lösung \(y=0\) (die man zu Beginn herausarbeiten sollte) klar, dass die allgemeine Lösung hier

\[y=C\cdot e^{-1/x}\quad,\quad C\in\IR\]
lautet.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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RogerKlotz hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
RogerKlotz hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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