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Strukturen und Algebra » Ringe » Ring normal zeigen
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Universität/Hochschule Ring normal zeigen
Robinsson
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-15 22:49


Hallo allerseits,

ich stecke bei einer Aufgabe zu normalen Ringen fest. Ich möchte zeigen dass der Ring $k[x,y]/(y^2-x^3+x)$ normal ist, also nach definition ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper $Q(k[x,y]/(y^2-x^3+x)$. Da muss zeigen, dass falls ein Element aus $Q(k[x,y]/(y^2-x^3+x)$ eingesetzt in ein Polynom mit koeffizienten aus dem Ring und Leitkoeffizieten gleich eins, Null gibt, dann liegt dieses Element schon in $k[x,y]/(y^2-x^3+x)$. wie gehe ich sowas strategisch an? Wenn ich allgemeiner ein Ring der Form $k[x_1,..., x_n]/(f)$ mit einem Polynom $f$ aus $k[x_1,..., x_n]$, gibts da standardtricks die Normalität zu prüfen? Klar ist $k[x_1,..., x_n]$ normal, aber sobald wir zum Faktorring mit einem Ideal dass nur von einem Polynom erzeugt ist, übergehen, blicke ich nicht durch.

LG



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-19 16:23


Welche Resultate hattet ihr bereits? Wenn man bereits etwas die Theorie der algebraischen Kurven kennt, kann man so vorgehen: Es handelt sich um einen Dedekindring, weil die Lokalisierungen diskrete Bewertungsringe sind (sieht man etwa mit dem Jakobi-Kriterium). Daraus folgt die Normalität.



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Robinsson
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-21 17:51


Hi Triceratops,

ne, die Kurven wurden nur fürs nächste Semester in Einführung in algebraische Geometrie angekündigt. Was Resultate rund um Normalität angeht, die wir schon mal hatten, kann ich (bis auf Def. und das Polynomring als Beispiel) nur noch das Lokalisierungskriterium nennen, also Ring normal genau dann wenn alle Lokalisierungen bezüglich allen Primidealen normal sind. Weiß aber nicht, wie mir das hier helfen könnte. Noch wurden Serre-Kriterien aus ausblick erwähnt: das zweite hier:

Aber da tauchen mit Tiefe und Regularität zwei neue Begriffe auf. Kann ich da den Nachweis von $S_2$ :Tiefe $(k[x,y]/(y^2-x^3+x))_p \ge \inf \{2,ht(p) \}$ für alle Primideale $p$ auf den Fall $k[x,y]$ zurückführen? Der ist ja normal, also gilt $S_2$ und $R_1$ dort.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-21 23:48


Dann testen wir das doch anhand der Lokalisierungen. Für das Nullideal ist nichts zu tun. Ich nehme einmal an, dass $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist; später brauchen wir auch noch, dass die Charakteristik $\neq 2$ ist. Dann hat jedes Primideal $\neq 0$ die Form $P = \langle x-a,y-b \rangle$ für ein Paar $(a,b) \in k^2$ mit $b^2=a^3-a$, und $P$ ist maximal. Ich behaupte, dass der lokale Ring $R_P$ faktoriell mit (bis auf Einheiten) genau einem Primelement $\pi$ ist (also dass gerade $R_P$ ein diskreter Bewertungsring ist). Um das Primelement zu finden, müssen wir das maximale Ideal $P R_P = \langle x-a,y-b \rangle$ vereinfachen:

Zunächst drücken wir (siehe LinkMaximales Ideal von Lokalisierung ist Hauptideal) $y^2$ mittels $y-b$ und $x^3-x$ mittels $x-a$ aus:

$y^2 = (y-b)^2 + 2b(y-b) + b^2$

$x^3-x = (x-a)^2 + 3a(x-a)^2 + (3a^2-1)(x - a) + (a^3-a)$

Wegen $y^2=x^3-x$ und $b^2=a^3-a$ erhalten wir:

$(y-b)((y-b) + 2b) =  (x-a)((x-a)^2 + 3a(x-a) + (3a^2-1))$

Es gilt nun $2b \neq 0$ oder $3a^2-1 \neq 0$: Wenn $2b=0$, gilt $b=0$ und damit $a^3=a$, also $a=0$ oder $a^2=1$, und damit $3a^2-1 \neq 0$.

Im Fall $2b \neq 0$ ist $(y-b) + 2b$ in $R_P$ eine Einheit, sodass die obige Gleichung $P R_P = \langle x-a\rangle$ impliziert. Im Fall $3a^2-1 \neq 0$ folgt wiederum $P R_P = \langle y-b \rangle$.

Jetzt muss man nur noch das folgende Lemma benutzen:

Lemma. Sei $R$ ein Noetherscher lokaler Integritätsring, der kein Körper ist und dessen maximales Ideal ein Hauptideal $\mathfrak{m} = \langle \pi \rangle$ sei. Dann ist jedes Element $\neq 0$ von $R$ bis auf Einheiten eine Potenz von $\pi$ (womit also $R$ ein diskreter Bewertungsring ist).

Beweis. Nach dem Durchschnittssatz von Krull (einem Korollar aus dem Lemma von Artin-Rees) gilt $\bigcap_{n \geq 0} \mathfrak{m}^n = 0$. Für jedes $0 \neq r \in R$ gibt es daher ein maximales $n \geq 0$ mit $r \in \mathfrak{m}^n$, etwa $r = \pi^n \cdot u$. Dann ist $u$ eine Einheit, weil ansonsten $u \in \mathfrak{m}$ und damit $r \in \mathfrak{m}^{n+1}$ wäre. $\checkmark$



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Robinsson
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-26 22:03


Hi Triceratops,

danke dir für deine ausführlich Antwort, das löst auf jeden fall
mein Problem.

Noch eine Frage zu diesem Ansatz mit der Tiefe den ich
erwähnt hab, die für Serre-Kriterium der Normalität
wichtig ist. allgemein ist die
für ein R-Modul M  die Tiefe als die Länge der maximalen
M-reguläre Folge definiert. Für einen lokalen ring $A_p$
mit maximalen Ideal $p$ ist mit Tiefe von $A_p$ die Tiefe
von $p$ als $A_p$ Modul gemeint.

Wenn ich es richtig verstanden habe, dann kann man
eine maximale reguläre Folge mit einem beliebigen regulären
Element in $p$ beginnen und die Länge wird unanbhängig von der Wahl,
oder? Ich wollte das wissen, weil wenn das stimmt, dann verträgt
sich die Tiefe gut mit der Quotientenstruktur von
$(k[x,y]/(y^2-x^3+x))_p$. Dann wäre die Tiefe von
$k[x,y]_p$ um genau eins größer als die von
$(k[x,y]/(y^2-x^3+x))_p$ und man könnte sich vollständig
auf Untersuchung der Tiefen der lokalen Ringe $k[x,y]_p$
mit $p$ Primideal von $k[x,y]/(y^2-x^3+x)$ beschränken.
Führt dieser Ansatz hier auch zum Erfolg?



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