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Universität/Hochschule Augmentationsideal als Hopf-Ideal
Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-18


Hey,

ich habe zwei kurze Fragen zum Augmentationsideal. Ich lerne aus "Introduction to Affine Group Schemes" von Waterhouse. Zunächst kurz zu den Definitionen im Buch:

Eine Hopf Algebra wurde genau als diejenigen Algebren $A$ definiert, die $\mathrm{Hom}(A,-)$ zu einem Gruppenfunktor machen. Entsprechend wurde ein Hopf Ideal genau als Ideal $I \subseteq A$ definiert, sodass $\mathrm{Hom}(A/I, -)$ ein Gruppenfunktor ist.

(Konkret erfüllen also Komultiplikation, Koeinheit, Koinverse $\Delta, \varepsilon, S$ einige Eigenschaften.)

Nun zu meinen Fragen:
- In Waterhouse wird direkt behauptet, dass das Augmentationsideal $\ker(\varepsilon)$ ein Hopf Ideal ist. Ist das so klar? Bzw. gibt es hierfür ein einfaches Argument? In einer Einführung zu Hopf Algebren von Underwood sieht das zumindest durchaus nach ein wenig Arbeit aus.
- Ebenso soll $\ker(\varepsilon)$ zur trivialen Untergruppe $\{e \}$ korrespondieren. Wie sieht man das? Ich würde versuchen für $f,g : A/I \to R$ zu zeigen, dass $(f,g)\circ \Delta = f \cdot g = f$ gilt, aber sehe nicht wie das folgt.


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yann
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-18


Hallo Kezer,
beim ersten Teil bin ich mir gerade nicht ganz sicher, vermute aber
- Der Körper $k$ ist selber eine Hopf-algebra, denn $k$ stellt die triviale Gruppe $e_k$ dar. Ich vermute, dass $\varepsilon:A\to k$ ein Homomorphismus von Hopf-Algebren ist und wahrscheinlich kann man "leicht zeigen", dass Kerne von solchen Homomorphismen stets Hopf-Ideale sind.

Zum zweiten Teil
-  $\varepsilon: A\to k$ ist ein surjektiver Homomorphismus von $k$-Algebren ($1_A$ wird auf $1_k$ abgebildet), folglich wird die durch $I:=ker(\varepsilon)$ definierte Untergruppe von $A/ker(\varepsilon)\cong k$ dargestellt. Für jede $k$-Algebra $B$ gibt es genau einen Homomorphismus $k\to B$, nämlich die Strukturabbildung selber; also ist $Hom(A/I,B)=\{1\}$.


Edit: $\varepsilon:A\to k$ ist per Definition der Komorphismus der Inklusion $e_k\to G$ (ich bezeichne das zu $A$ gehörige Gruppenschema mit $G$). Diese Inklusion ist trivialerweise ein Homomorphismus von affinen Gruppenschemata und damit ist $\varepsilon$ ein Hopf-Algebren-Homomorphismus.

Wahrscheinlich ist aber der Nachweis, dass Kerne von Hopf-Algebrenhomomorphismen Hopf-Ideale sind, nicht wirklich einfacher als der Nachweis, dass $ker(\varepsilon)$ eines ist; ich denke nochmal drüber nach.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-18


Danke dir, yann!

Hab beim zweiten Teil wohl in die falsche Richtung gedacht, dein Beweis ist schön und leicht (und naheliegend). :-)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-19


2020-07-18 10:02 - Kezer im Themenstart schreibt:

Eine Hopf Algebra wurde genau als diejenigen Algebren $A$ definiert, die $\mathrm{Hom}(A,-)$ zu einem Gruppenfunktor machen.

Diese Definition ist nur dann zur üblichen äquivalent, wenn $A$ kommutativ ist (was vermutlich eine stillschweigende Voraussetzung in dem genannten Kontext ist).



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Kezer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kezer hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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