| |
| Autor |
  Definition der Differenzierbarkeit |
|
mbInfoStudent
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 22.08.2015
Mitteilungen: 54
 |  Themenstart: 2020-07-21
|
Ich kann die allgemeine Definition von Differenzierbareitkeit. Jedoch bin ich in einem Buch während eines Beweises auf eine Aussage getroffen, die ich nicht nachvollziehen könnte:
Sei $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ stetig differenyierbar. Weiter sei $F(\hat{x})=0$ und $F'(\hat{x})$ invertierbar. Dann... (Nicht relevant).
Im Beweis heißt es:
$$\|x-\hat{x}\|=\|F'(\hat{x})^{-1}F'(\hat{x})(x-\hat{x})\|\leq\|F'(\hat{x})^{-1}\|\|F'(\hat{x})(x-\hat{x}\|$$
Sie nun $\gamma=\frac{1}{2\|F'(\hat{x})^{-1}\|}$.Dann haben wir
$$\|F'(x)(x-\hat{x})\|\geq 2\gamma\|x-\hat{x}\|$$
Und jetzt kommt der Teil:
Nach Definition der Differenzierbarkeit gibt es $\epsilon >0$, so dass gilt:
$$\|F(x)-F(\hat{x})-F'(\hat{x})(x-\hat{x})\|\leq \gamma \|x-\hat{x}\| \forall x\in B_{\epsilon}(\hat{x}).$$
Auf welche Definition der Differenzierbarkeit wird hier Bezug genommen, womit die untere Ungleichung aufgestellt wird. Die allgemeine Definition der Differenzierbarkeit ist ja:
$$\lim_{x\rightarrow \hat{x}}\frac{F(x)-F(\hat{x})}{x-\hat{x}}=F'(\hat{x})$$
Wie aber kommt die obere Ungleichung zur Stande?
|
 Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5025
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-21
|
\quoteon(2020-07-21 22:44 - mbInfoStudent im Themenstart)
Die allgemeine Definition der Differenzierbarkeit ist ja:
$$\lim_{x\rightarrow \hat{x}}\frac{F(x)-F(\hat{x})}{x-\hat{x}}=F'(\hat{x})$$
\quoteoff
Da hier durch Vektoren dividiert würde, kann das nicht die allgemeine Definition der Differenzierbarkeit sein.
--zippy
|
Profil
|
Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-21
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\H}{\mathbb{H}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}
\newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>}
\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo mbInfoStudent,
das ist nicht die allgemeine Definition der Differenzierbarkeit. Wenn $x,\hat x$ Vektoren sind, wie soll man denn dann durch $x-\hat x$ teilen?
Die allgemeine Definition lautet, dass $F:U\to\R^m$ mit $U\subseteq\R^n$ offen differenzierbar in $\hat x\in U$ ist, wenn es eine lineare Abbildung $F'(\hat x):\R^n\to\R^m$ gibt, sodass
\[\lim_{x\to\hat x}\frac{\Vert F(x)-F(\hat x)-F'(\hat x)(x-\hat x)\Vert}{\Vert x-\hat x\Vert}=0.\]
Im Fall $n=m=1$ ist das äquivalent zur Definition über den Differenzenquotienten: Wenn $\lim\limits_{x\to \hat x}\frac{F(x)-F(\hat x)}{x-\hat x}=F'(\hat x)$, dann kann man die rechte Seite zu $\frac{F'(\hat x)(x-\hat x)}{x-\hat x}$ erweitern und auf die linke Seite ziehen, um
\[\lim_{x\to\hat x}\frac{F(x)-F(\hat x)-F'(\hat x)(x-\hat x)}{x-\hat x}=0\]
zu erhalten. Man kann auf die linke Seite auch noch die Norm anwenden, die Aussagen $a_n\to0$ und $\Vert a_n\Vert\to0$ sind nämlich äquivalent.
Jedenfalls ist der Limes ja definiert als "Für alle $\varepsilon>0$ gibt es ein $\delta>0$ sodass ...". Benenne hier $\varepsilon$ um zu $\gamma$ und $\delta$ zu $\varepsilon$, dann ist das die in deinem Post aufgestellte Aussage:
Für alle $\gamma>0$ gibt es ein $\varepsilon>0$ sodass
\[\left\Vert\frac{\Vert F(x)-F(\hat x)-F'(\hat x)(x-\hat x)\Vert}{\Vert x-\hat x\Vert}-0\right\Vert<\gamma~\textrm{für alle }x\in B_{\varepsilon}(\hat x).\]
Das $-0$ und die großen Betragsstriche kann man weglassen, und dann muss man nur noch mit $\Vert x-\hat x\Vert$ multiplizieren, um deine Aussage zu erhalten.
Viele Grüße
Vercassivelaunos
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
|
Profil
|
mbInfoStudent
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 22.08.2015
Mitteilungen: 54
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-22
|
@Vercassivelaunos, vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort.
|
Profil
|
mbInfoStudent hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
mbInfoStudent hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
