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| Autor |
  Variablen für die Lagrange Funktion bestimmen |
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kikeChristian
Junior 
Dabei seit: 25.05.2020
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2020-07-24
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Hallo Leute!
Ich lerne gerade für eine anstehende Analysis 2 Prüfung und bin auf dieses Beispiel gestoßen:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53151_Unbenannt1.JPG
Die Lagrange Funktion müsste ja so aussehen:
L = (x_1 - x_0)^2 + (x_2-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 + (y_2-y_0)^2 + \lambda_1(f_1(x,y)) + \lambda_2(f(x,y)) + \lambda_3(f(x,y))
Nun bin ich mir aber leider nicht sicher nach welchen Variablen ich hier ableiten muss.
Gibt es da einen generellen Ansatz bei der Lagrange Optimierung wie ich diese bestimmen kann? Muss ich nur nach meinen gesuchten (x_0, y_0) und den \lambda_i ableiten oder muss ich auch die Ableitungen nach (x_1, x_2, y_1, y_2) bilden)? Hierbei würden sich dann ja insgesamt 9 Gleichungen ergeben für die 9 Unbekannten ergeben, wobei ich laut Aufgabe aber nur 2 bestimmen muss.
Würde mich sehr freuen wenn mir jemand einen kleinen Denkanstoß oder einen Ansatz geben könnte wie ich an das ganze herangehe.
LG
Christian
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
hm, ich denke gerade auch über die Aufgabe nach. Definitiv hast du zwar den richtigen Ansatz, aber du musst die Variablen in den Nebenbedingungen auch entsprechend indizieren (ist vermutlich ein Tippfehler?).
Dein Ansatz passt noch nicht so ganz. Siehe dazu Beitrag #2 von zippy.
Außerdem musst du die Variablen in den Nebenbedingungen auch entsprechend indizieren (ist vermutlich ein Tippfehler?).
\quoteon(2020-07-24 10:45 - kikeChristian im Themenstart)
Nun bin ich mir aber leider nicht sicher nach welchen Variablen ich hier ableiten muss.
Gibt es da einen generellen Ansatz bei der Lagrange Optimierung wie ich diese bestimmen kann? Muss ich nur nach meinen gesuchten (x_0, y_0) und den \lambda_i ableiten oder muss ich auch die Ableitungen nach (x_1, x_2, y_1, y_2) bilden)? Hierbei würden sich dann ja insgesamt 9 Gleichungen ergeben für die 9 Unbekannten ergeben, wobei ich laut Aufgabe aber nur 2 bestimmen muss.
\quoteoff
Wie kommst du auf wobei ich laut Aufgabe aber nur 2 bestimmen muss? Das kann ich nirgends ersehen (bis auf die Tatsache, dass der Punkt \((x_0,y_0)\) gesucht ist).
Ich finde eher den Satz:
Leiten Sie ein Gleichungssystem her, aus dessen Lösung sich der gesuchte Punkt ergibt.
interessant. Ich denke, es geht genau darum. Den Gradienten der kompletten Lagrangefunktion gleich Null zu setzen (und ja: das sind 9 Gleichungen). Aber von ausrechnen oder auch nur Lösen des LGS ist nirgends die Rede: es sind auch keine konkreten Funktionen \(f_j\) gegeben.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5025
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-24
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\quoteon(2020-07-24 11:22 - Diophant in Beitrag No. 1)
Definitiv hast du zwar den richtigen Ansatz
\quoteoff
In der Aufgabe ist von$$
\hbox{Abstand von }(x_0,y_0)\hbox{ zu }C_1 \;+\;
\hbox{Abstand von }(x_0,y_0)\hbox{ zu }C_2
$$die Rede, der Ansatz geht aber von$$
\bigl[\hbox{Abstand von }(x_0,y_0)\hbox{ zu }C_1\bigr]^2 +
\bigl[\hbox{Abstand von }(x_0,y_0)\hbox{ zu }C_2\bigr]^2
$$aus.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@zippy:
\quoteon(2020-07-24 11:38 - zippy in Beitrag No. 2)
\quoteon(2020-07-24 11:22 - Diophant in Beitrag No. 1)
Definitiv hast du zwar den richtigen Ansatz
\quoteoff
In der Aufgabe ist von$$
\hbox{Abstand von }(x_0,y_0)\hbox{ zu }C_1 \;+\;
\hbox{Abstand von }(x_0,y_0)\hbox{ zu }C_2
$$die Rede, der Ansatz geht aber von$$
\bigl[\hbox{Abstand von }(x_0,y_0)\hbox{ zu }C_1\bigr]^2 +
\bigl[\hbox{Abstand von }(x_0,y_0)\hbox{ zu }C_2\bigr]^2
$$aus.
\quoteoff
au weia, das hatte ich übersehen. Das wäre bei einem Abstand ok, aber natürlich nicht bei der Summe zweier Abstände. Danke für den Hinweis!
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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kikeChristian
Junior
Dabei seit: 25.05.2020
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-24
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Danke @Diophant und @zippy für die wirklich schnellen Antworten!
Oje, dass stimmt natürlich... Danke auch für den Hinweis!
Dann müsste es also die Funktion
L = ((x_1-x_0)+(x_2-x_0))^2+((y_1-y_0)+(y_2-y_0))^2 + ....
sein. Oder stehe ich da gerade wieder auf der Leitung?
Wobei ich mir auch noch nicht ganz sicher bin, sind die partiellen Ableitungen von den jeweiligen x_i und y_i, i=0,1,2.
Liege ich richtig mit meinem Gedanken, dass die Partielle Ableitung nach x_0 wie folgt aussieht:
pdiff(L,x_0) = ... + \lambda_1 pdiff(f_0(x_0,y_0),x_0)
Grüße
Christian
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
nein: jetzt hast du es "verschlimmbessert". Du musst die Lagrangefunktion mit den tatsächlichen Abständen (->Euklidische Norm) aufbauen.
Die zweite Frage verstehe ich nicht so ganz. Meinst du damit, ob bei den Ableitungen nach \(x_j\) und \(y_j\) jeweils die zwei "unbeteiligten" Nebenbedingungen verschwinden? Dem ist so: die betrachtet man in dem Moment ja dann als Konstanten.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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kikeChristian
Junior
Dabei seit: 25.05.2020
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-24
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Hallo Diophant!
Oh, ok. Dann hätten also bei meinem ersten Ansatz zwei Wurzeln gefehlt?
Also:
sqrt((x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2) + ...
Wegen der zweiten Frage: Nach dem Aufschreiben der partiellen Ableitung hat sich meine anfängliche Verwirrung gelegt. Ich weiß leider selber nicht genau wo da meine Unsicherheit lag...
Gruß
Christian
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-24
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Hallo,
jetzt passt es. Das läuft jetzt halt auf einige Schreibarbeit hinaus, mehr ist dann aber nicht zu tun.
Gruß, Diophant
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