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Schule Spiralplatz
Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-31 09:42


Hier nur mal eine Aufgabenidee, die ich selber nicht zu Ende bringen kann....

Ein Steinleger hat die Aufgabe, auf einem Platz eine Sparale zu legen, und zwar so, daß je 360 Grad genau ein Stein mehr im Kreis verbaut wird. Die Spirale soll mit 12 Steinen beginnen und bei 360 enden. Der Durchmesser der Spirale soll in einem Kreis von 360 Meter Durchmesser enden und die Steine sollen immer ungefähr gleichförmig sein.

Frage: Wie groß müssen die Steine sein?


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Das Schwierige ist nicht die Mathematik. Schwierig ist es zu formulieren, daß man selber versteht, was man sieht und die anderen auch!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-31 11:47


Hallo Bekell,

das funktioniert nicht. Wenn die Anzahl der Steine linear mit dem Abstand zur Mitte steigen soll, dann klappt das nur, wenn man die Steine entlang von äquidistanten konzentrischen Kreisen anordnet.

Oder man arbeitet mit unterschiedlich großen Steinen.

Bei einer Spirale müsstest du außerdem ersteinmal genau definieren, wie die beginnen soll.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Geometrie' von Diophant]



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-01 23:36


Hier ist eine "Pflasterspirale", die pro Windung einen zusätzlichen Stein erhält und deren Steine zumindest äußeren Bereich sich sehr ähnlich sind.
Unter Beachtung einiger Details können die Steine sogar zumindest in guter Näherung flächengleich sein, da die archimedische Spirale linear wächst.




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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-02 10:37


Hier noch einmal eine bunt gepflasterte Spirale:



Pro Windung kommen hier genau zwei Pflastersteine hinzu.
Alle Pflastersteine haben die gleichen Maße.
Viel Spaß beim Verschönern des Dorfplatzes!


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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-02 11:35


2020-07-31 09:42 - Bekell im Themenstart schreibt:
Die Spirale soll mit 12 Steinen beginnen und bei 360 enden.
Vereinfachend - betrachtet man die Skizzen in #2 und #3 - kann man zunächst anstelle der Spiralwindungen mit Ringen rechnen.

Mit $n$, der Anzahl aller Steine:
$$ n = \sum_{i=0}^{348} i +12= 348 \cdot 12 + \frac{348 \cdot 349}{2}  = 64914$$
Der Enddurchmesser soll 360 Meter betragen.
Mit $b$, der Steinbreite, $r$ Innen- und $R=180\; m$ Außenradius:
$$b = \frac{R-r}{348} $$ Nimmt man für $r=6 \; m $ an, wäre $b = \frac{180-6}{348} =0,5\; m$ möglich.
Die Steinlänge $\ell$ damit: $\ell=\frac{2r \pi}{12}=\frac{12}{12}\pi\; m=\pi\; m$.

$$A=(R^2-r^2)\pi=(180^2-6^2)\pi\; m ^2\approx 101.675 \; m^2$$ $$A=n \cdot b\cdot \ell=64914 \cdot\frac{\pi}{2} m ^2\approx 101.915 \; m^2$$
Was ja in etwa überschlägig übereinstimmt.
Abzüglich der Flächen der halben Steinbreite im Innen- und Außenkreis ergibt sich dann das genaue Ergebnis:

$$A=n \cdot b\cdot \ell-\frac{b}{2}(n_i+n_a)=64914 \cdot\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{4}\cdot (12+360)m ^2 \approx 101.675 \; m^2.$$


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Gruß haegar



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