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Universität/Hochschule äußere Normale auf tubulare Umgebung erweitern
Toasten47
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  Themenstart: 2020-08-01

Hallo, ich muss mal wieder eine Frage stellen ;) Differentialgeometrie ist nicht das Feld, in dem ich sonst beheimatet bin, weshalb ich mit dem folgenden einfachen Problem nicht weiterkomme: Sei $M$ eine $n$-dimensionale eingebette $C^k$-Untermannigfaltigkeit von $\mathbb R^n$ mit Rand, d.h. für jeden punkt $x\in M$ existierte ein $C^k$-Diffeomorphismus von einer in $M$ offenen Umgebung von $x$ auf eine offene Teilmenge von $\mathbb H^n:=\mathbb R^n\times[0,\infty)$. Ist jetzt $\phi$ irgendein $C^1$-Diffeomorphismus einer offenen Teilmenge $\Omega$ von $M$ auf eine offene Teilmenge von $\mathbb H^n$. so ist $$\nu_\phi(x):=\frac{{\rm D}\phi(x)^\ast e_n}{\left\|{\rm D}\phi(x)^\ast e_n\right\|},$$ worin $(e_1,\ldots,e_n)$ diie Standardbasis von $\mathbb R^n$ bezeichne, das äußere Normalenfeld an $x$ für alle $x\in\Omega\cap\partial M$ ($\partial M$ bezeichne den Mannigfaltigkeitenrand, also nicht den topologischen). Jetzt stellen sich zwei Fragen: (a) Wie kann ich diese Funktionen $\nu_\phi$ zu einer stetigen Funktion $\nu:\partial M\to\mathbb R^n$ zusammensetzen. (b) Wie kann ich $\nu$ auf eine in $\mathbb R^n$ offene Umgebung $U$ von $\partial M$ derart erweitern, dass diese Erweiterung in $C^{k-1}(U,\mathbb R^n)$? Sei $((\Omega_i,\phi_i))_{i\in I}$ irgendein $C^k$-atlas für $M$. Dann ist $\Omega_i=U_i\cap M$, mit einer offenen Teilmenge $U_i$ von $\mathbb R^n$, für alle $i\in I$. $U:=\bigcup_{i\in I}U_i$ ist offen. Jetzt müssten wir vielleicht(!) $\rho_i\in C_c^\infty(U)$ mit $\operatorname{supp}\rho_i\subseteq U_i$ und $\rho_i\ge0$ für alle $i\in I$ finden, sodass $$\partial M\subseteq\left\{\sum_{i\in I}\rho_i=1\right\}.$$ Ist dann $\nu_i:=\nu_{\varphi_i}$ für $i\in I$, so sollten wir $\nu:=\sum_{i\in I}\rho_i\nu_i$ definieren. Vielleicht geht das aber auch so nicht und wir müssen stattdessen eine offene Überdeckung von $\partial M$ betrachten. Außerdem habe ich gelesen, dass man $\nu:\partial M\to\mathbb R^n$ nicht auf eine offene Umgebung von $\partial M$, sondern speziell auf eine tubulare Umgebung erweitern muss (warum?). Freue mich über jeglichen Input :)


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