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Analysis » Grenzwerte » Zusammenhang zwischen Grenzwertbildung und Gleichheit bei beliebig kleinem ε
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Universität/Hochschule Zusammenhang zwischen Grenzwertbildung und Gleichheit bei beliebig kleinem ε
WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-01 21:46


Hallo zusammen,

in letzter Zeit sind mir ein paar Verständnisschwierigkeiten bei Grenzwertbildungen aufgefallen, hoffentlich ist diese Frage jetzt nicht zu verwirrend, aber vielleicht kann mir jemand helfen meine Gedanken da nochmal zu ordnen.

1.) Einerseits haben wir die klassische Schlussweise, dass wenn für jedes $\epsilon>0$ für zwei $\textbf{fixe}$ $a,b\in\mathbb{R}$ gilt $|b-a|<\epsilon$, dann folgt $a=b$. O.k. das ist klar.

Aber jetzt haben wir häufig den Fall, dass $a$ oder $b$ nicht fix ist/sind, sondern sich in Abhängigkeit von $\epsilon$ verändert/n (Häufungspunkte oder obere und untere Riemannsummen ...). Also dann heißt es bspw. für alle $\epsilon>0$ können $a,b$ "generiert" werden, sodass $|b-a|<\epsilon$. Wahrscheinlich ist es dann in diesem Kontext korrekter anstatt $a$ und $b$ zwei Funktionen in Abhängigkeit von $\epsilon$ zu verwenden, also: $|f_b(\epsilon)-f_a(\epsilon)|<\epsilon$. Hierauf die klassische Schlussweise aus 1.) anzuwenden, wäre dann falsch, weil:

wenn ich nun $\epsilon$ beliebig klein werden lasse, dann habe ich ja:
$\lim\limits_{\epsilon\to 0}|f_b(\epsilon)-f_a(\epsilon)|\leq\lim\limits_{\epsilon\to 0}\epsilon = 0$. Dies bedeutet, dass der Grenzwert von $\lim\limits_{\epsilon\to 0}(f_b(\epsilon)-f_a(\epsilon))$ existiert bzw. $0$ ist. Nur weil der Grenzwert von $(f_b(\epsilon)-f_a(\epsilon))$ den Wert $0$ annimmt, heißt dies aber nicht automatisch, dass auch irgendwann, ab einem $\epsilon$, $(f_b(\epsilon)=f_a(\epsilon))$ gilt. Dies kann sein muss aber nicht.

Wenn ich jetzt diesen Gedanken mit dem Grenzwert auf die klassische Schlussweise in 1.) übertrage, so hieße das, dass ich jetzt zwei "spezielle" Funktionen $f_b(\epsilon)$ und $f_a(\epsilon)$ habe, die in diesem Fall beide einfach konstant sind. Es folgt dann:

$\lim\limits_{\epsilon\to 0}|f_b(\epsilon)-f_a(\epsilon)|=(b-a)\leq\lim\limits_{\epsilon\to 0}\epsilon = 0$. In diesem Fall muss $b=a$ gelten, da $0$ sonst nicht der Grenzwert von $(b-a)$ wäre.

Kann man das so sagen oder wie seht ihr das?

viele Grüße
WagW



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-01 21:52


Hallo WagW,

2020-08-01 21:46 - WagW im Themenstart schreibt:
Also dann heißt es bspw. für alle $\epsilon>0$ können $a,b$ "generiert" werden, sodass $|b-a|<\epsilon$.

bitte poste mal in Wortlaut einen Beweis, in dem das gemacht wird.
Ansonsten ist deine Frage (zumindest für mich) in der Tat verwirrend, ich weiß noch nicht, worauf du hinauswillst.

mfg
thureduehrsen



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-01 22:29


Hallo thureduehrsen,

Angenommen $U(f,P)$ und $O(f,P)$ sind Ober- bzw. Untersummen einer integrierbaren Funktion $f:[a,b]\to\mathbb{R}$. Jetzt wäre bspw. $f_a(\epsilon):=U(f,P)$ und $f_b(\epsilon):=O(f,P)$.

Dann gilt ja für alle $\epsilon>0$, dass es eine Partition $P$ von $[a,b]$ gibt, sodass $O(f,P)-U(f,P)<\epsilon$. Wenn ich jetzt $\lim\limits_{\epsilon\to 0}(O(f,P)-U(f,P))= \lim\limits_{\epsilon\to 0}(f_a(\epsilon)-f_b(\epsilon))\leq \lim\limits_{\epsilon\to 0}\epsilon =0$ betrachte, dann weiß ich das der Grenzwert von $O(f,P)-U(f,P)$ existiert, aber es heißt ja nicht zwingend, dass ab einem bestimmten $\epsilon$ oder ab einer genügend feinen Partition wirklich $O(f,P)=U(f,P)$ gilt (Kann sein, muss aber nicht).

Betrachte ich jedoch $I:=\inf\{O(f,P)~|~P$ ist Partition von $[a,b]\}$ und $S:=\sup\{U(f,P)~|~P$ ist Partition von $[a,b]\}$, dann sind $I$ und $S$ ja fixe Zahlen, sodass ich hier sagen kann $I-S \leq O(f,P)-U(f,P)<\epsilon$ und daraus folgt $S=I$, also Riemann-Integrierbarkeit.

Hilft das mein Problem einigermaßen verständlich zu machen?

viele Grüße
WagW



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-03 10:47


Ja, wenn man an den richtigen Stellen die richtigen Begründungen abgibt, kann man das so machen.



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-03 11:38


Hallo Kitaktus,

an welchen Stellen würden denn da noch Begründungen fehlen?

viele Grüße
WagW



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-04 10:52


Unklar bleibt, woher Du weißt, dass es für jedes $\varepsilon$ eine Zerlegung gibt, so dass Ober- und Untersumme genügend nahe beieinander liegen. Das ist ja nicht bei jeder Funktion der Fall. Da braucht es eine Begründung, die sich auf Eigenschaften der zu integrierenden Funktion bezieht.
Möglicherweise sind die notwendigen Eigenschaften in der Definition von "intergrierbare Funktion" enthalten.
Du schreibst "intergrierbare Funktion". Welcher Integralbegriff damit gemeint ist, ist nicht klar. Wenn Du nur einen kennst, dann ist wohl das Riemann-Integral gemeint.



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04 11:15


Ah o.k. so meinst Du das. Ja ich beziehe mich auf das Riemann-Integral.



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