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Funktionentheorie » Holomorphie » holomorphe Funktion nicht injektiv
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Universität/Hochschule holomorphe Funktion nicht injektiv
nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-02


Guten Abend,

ich sitze an folgender Aufgabe und komme nicht weiter:

f sei auf D\{0} holomorph mit f(D\{0})=D
(D sei die offene Einheitskreisscheibe)

Zeigen Sie: f kann nicht injektiv sein

Kann mir jemand weiterhelfen?







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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-03


Hallo,

Kann es denn umgekehrt eine holomorphe Funktion g von D nach D\0 geben?

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-03


Hallo Creasy,

ja das ist schon möglich, zum Beispiel ist die Funktion exp ja holomorph auf D und nullstellenfrei.
Aber hilft mir das bei der Aufgabe?
Mein Gedanke war, dass man vielleicht ausnutzen muss dass man ein „kleineres“ Gebiet D\0 auf das Gebiet D abbildet, was einen Punkt (also 0) „mehr“ hat.





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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-04


$\exp$ bildet nicht $\mathbb{D}$ nach $\mathbb{D} \setminus \{0\}$ ab. Zum Beispiel ist $\exp(1) \notin \mathbb{D}$.



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


1 ist ja aber nicht in D, weil D ja die offene Einheitskreisscheibe ist.
Jedoch exp(0)=1 zeigt dass exp nicht nach
 D\{0} abbildet.

Aber unabhängig davon, wie hilft mir das bei der Aufgabe bzw. wie zeigt man dies?

LG nitram999



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


Ich hab gerade noch einen Gedanken:

Folgt nicht mit dem Riemannachen Hebbarkeitssatz, da f beschränkt ist, dass f holomorph auf ganz D ist.

Jetzt kann man aber f einfach als Identität wählen und diese ist inkektiv. Das würde der Aufgabenstellung jedoch widersprechen.

Kann mir dazu jemand helfen?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-04


Hallo,

Ja das weiss ich auch nicht mehr was ich damit zeigen wollte..

Die Identität erfüllt nicht f(D\0)= D und ist.dementsprechend kein gegenbsp.

Ohne Gewähr:
Wenn f injektiv ist, dann hast du eine homotopieäquivalenz zwischen D\0 und D (wenn ich mich Recht erinnere), nun ist D aber zueammenziehbar, D\0 nicht.

Grüße
CreasY



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


Hallo Creasy,

das stimmt, die Eigenschaft aus der Angabe muss ja weiterhin erfüllt sein...

Jedoch hatten wir den Begriff homotopie sowie auch die Zusammenziehbarkeit nicht in der Vorlesung. Also müsste es auch einfacher/anders gehen.



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


Beweis:

f(D\{0}) = D
Mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz folgt, dass 0 hebbar ist und somit f auf D holomorph. Nun folgt, dass f(0) in D liegen muss (aus Stetigkeitsgründen und wegen des Offenheitsprinzips, da f(D) offen ist, weshalb auch eine stetige Fortsetzung auf den Rand von D wegfällt).
Nun existiert in D\{0} ein z mit f(z)=f(0) was zeigt, dass f nicht injektiv sein kann.


Stimmt das so?



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