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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Bedingung für gleichmäßige Konvergenz
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Universität/Hochschule Bedingung für gleichmäßige Konvergenz
WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-05


Hallo zusammen,

welche Bedingung muss ich voraussetzen damit ich auf die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge schließen kann?

Also ich bin mittlerweile auf den Satz von Dini gestoßen, der die Folgenglieder und den Grenzwert auf einem Kompaktum $K$ definiert und deren Stetigkeit verlangt. Außerdem müssen die Folgenglieder monoton sein, im Sinne von $f_n(x)\leq f_{n+1}(x)$ bzw. $f_n(x)\geq f_{n+1}(x)$ für alle $n\in\mathbb{N}$ und $x\in K$.

Ich frage mich nun, ob man auch folgenden Ansatz nutzen kann, um auf die gleichmäßige Konvergenz zu schließen:

Also sei $\left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$, mit $f_n:K\to \mathbb{R}$, eine punktweise konvergente Funktionenfolge mit $\lim\limits_{n\to\infty}f_n=f$. Die Folgenglieder $f_n$ und $f$ sind (gleichmäßig) stetig.

Wenn man die Folgenglieder $f_n(x)$ für ein beliebiges $x\in K$ durch $f_n(x)=g(x,y_n)$ und den Grenzwert durch $f(x)=g(x,y)$ ausdrücken kann, wobei $g:K\times\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ stetig und $y_n\to y$ eine konvergente Folge ist, dann kann man folgendermaßen die gleichmäßige Konvergenz zeigen:

Sei $A:=\{y_n~|~ n\in\mathbb{N}\}\cup \{y\}$ eine kompakte Menge. Wir beschränkten den Definitionsbereich von $g$ auf $g:A\times[0,1] \to \mathbb{R}$, sodass $g$ gleichmäßig stetig wird. Dies ist aber äquivalent dazu, dass $f_n$ gleichmäßig konvergent ist.

Die Argumente müsste ich als Analysis 2-Beleger mit Sicherheit noch etwas ausführen, aber ist denn die Idee soweit richtig?

viele Grüße
WagW



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