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Universität/Hochschule Funktionentheorie holomorphe Funktion konstant
nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-07


Hallo,

ich sitze an folgender Aufgabe und komme nicht weiter:

fed-Code einblenden

Es ist ja hier wahrscheinlich zu zeigen, dass f konstant ist, woraus dann f' konstant 0 folgen würde und wonach dann auch f'(0,52201) = 0 wäre.
Jedoch weiß ich nicht, wie man aus der Bedingung mit dem Realteil zeigen kann, dass f konstant ist.
Intuitiv muss ja der Realteil konstant sein, denn wenn er veränderlich wäre, würde er wegen der Dichtheit der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen auch irrationale Zahlen annehmen. Somit muss fed-Code einblenden gelten. Da Re f(z) konstant ist würde dann nach einem Satz der Vorlesung folgen, dass f konstant ist.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank schon mal!
LG nitram999



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-07


Hallo,

Man könnte es so machen: Nimm an es existieren $z_1,z_2\in\mathbb{C}$ mit $\operatorname{Re}(f(z_1))<r<\operatorname{Re}(f(z_2))$, wobei $r$ eine beliebige irrationale Zahl dazwischen ist. Wähle dann einen Weg $\gamma$ in $\mathbb{D}$ mit den Endpunkten $z_1$ und $z_2$. Auf die stetige Verknüpfung  $\operatorname{Re}f\circ\gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ lässt sich der Zwischenwertsatz anwenden und ein Widerspruch konstruieren.

Ist etwas umständlich, vielleicht geht es auch direkter.



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nitram999
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Aus: Würzburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-07


Hallo,

danke für die Antwort!
Gut dann lag ich mit meiner Vermutung ja richtig und es hat lediglich die exakte Formulierung mit Zwischenwertsatz gefehlt.
Wenn man diese noch einbringt, ist der Beweis dann erbracht, dass f'(0,52201)=0 gilt, oder?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-07


Alternativer Beweis:
• $\IQ$ ist total unzusammenhängend
• Holomorphe Funktionen sind stetig
• Der Realteil ist eine stetige Funktion.
• Stetige Funktionen bilden zusammenhängende Teilmengen auf zusammenhängende Teilmengen ab.



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