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Lineare Algebra » Eigenwerte » Jordan-Normalform einer nilpotenten Matrix
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Universität/Hochschule J Jordan-Normalform einer nilpotenten Matrix
LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-11

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Guten Abend.
Ich habe eine Aufgabe wo ich mir nicht ganz sicher bin, könnte mir jemand sagen ob ich das richtig gedacht habe? Die Aufgabe:

"Sei K ein beliebiger Körper und V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum. Sei T ein Endomorphismus auf V mit \( \im(T) = \ker(T)\). Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von T"


Was ich mir dazu gedacht habe:
T kann auf jeden Fall nicht die Nullabbildung sein, weil wenn Tx = 0 für alle x, dann wäre das Bild der Nullraum aber der Kern wäre der gesamte Raum. Somit ist T nicht die Nullabbildung. Dadurch dass es \( x \neq 0\) gibt mit Tx = 0, weiss man dass 0 ein Eigenwert von T ist. Dies ist auch der einzige Eigenwert, denn: Sei \( Tx = \lambda x\) mit \( x \neq 0\), wenn man darauf noch mal T anwendet erhält man: \( 0 = TTx = \lambda Tx = \lambda^2 x\), folglich muss schon \( \lambda = 0\) gelten.

Jetzt weiss man auch, dass das charakteristische Polynom über K vollständig zerfällt. Daraus folgt, dass eine Jordan-Normalform existiert. Folglich gibt es eine Transformationsmatrix S, sodass \( J = S^{-1} T S\) gilt. Wenn man nun wieder J anwendet bekommt man: \( JJ = S^{-1} T S S^{-1} T S = S^{-1} T^2 S = 0 \), daraus folgt also, da insbesondere auch J nicht die Nullmatrix sein kann:
\( J = \left( \begin{array}{rrrr}0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \ddots & 0 & \vdots \\\vdots & 0 & \ddots & 1 \\0 & \cdots & 0 & 0 \\\end{array}\right) \)

Ist das richtig?
\(\endgroup\)


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Conny42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-11


Huhu LineareAlgebruh,

wie du vollkommen richtig erkannt hast, ist $\lambda =0$ der einzige Eigenwert und $T^2=0$.
Die Jordan-Normalform musst du dir aber noch einmal ansehen, die ist noch nicht richtig.
Was kannst du denn über die Anzahl der Jordanblöcke sagen?
Und was kannst du über das Minimalpolynom und damit die Größe des größten Jordanblocks sagen?

Liebe Grüße,
Conny



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LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12

\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bA}{\mathbb{A}} \newcommand{\bB}{\mathbb{B}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \newcommand{\bD}{\mathbb{D}} \newcommand{\bE}{\mathbb{E}} \newcommand{\bF}{\mathbb{F}} \newcommand{\bG}{\mathbb{G}} \newcommand{\bH}{\mathbb{H}} \newcommand{\bI}{\mathbb{I}} \newcommand{\bJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\bL}{\mathbb{L}} \newcommand{\bM}{\mathbb{M}} \newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bO}{\mathbb{O}} \newcommand{\bP}{\mathbb{P}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bS}{\mathbb{S}} \newcommand{\bT}{\mathbb{T}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\bV}{\mathbb{V}} \newcommand{\bW}{\mathbb{W}} \newcommand{\bX}{\mathbb{X}} \newcommand{\bY}{\mathbb{Y}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%% calligraphic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} %%%%%%%%%%%%% mathematical fraktur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\fA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\fB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\fC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\fD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\fE}{\mathfrak{E}} \newcommand{\fF}{\mathfrak{F}} \newcommand{\fG}{\mathfrak{G}} \newcommand{\fH}{\mathfrak{H}} \newcommand{\fI}{\mathfrak{I}} \newcommand{\fJ}{\mathfrak{J}} \newcommand{\fK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\fL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\fM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\fN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\fO}{\mathfrak{O}} \newcommand{\fP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\fQ}{\mathfrak{Q}} \newcommand{\fR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\fS}{\mathfrak{S}} \newcommand{\fT}{\mathfrak{T}} \newcommand{\fU}{\mathfrak{U}} \newcommand{\fV}{\mathfrak{V}} \newcommand{\fW}{\mathfrak{W}} \newcommand{\fX}{\mathfrak{X}} \newcommand{\fY}{\mathfrak{Y}} \newcommand{\fZ}{\mathfrak{Z}} %%%%%%%%%%    Math operators    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\Id}{Id}             % identity morphism % \DeclareMathOperator{\ker}{ker}           % kernel \DeclareMathOperator{\rg}{rg}             % Rang \DeclareMathOperator{\defekt}{def}        % Defekt \DeclareMathOperator{\im}{im}             % image \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}           % homomorphisms \DeclareMathOperator{\End}{End}           % endomorphisms \DeclareMathOperator{\Span}{Span}         % linear span %%%%%%%%%%   Anderes Zeug :D   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\C{\mathbb{C}} \def\R{\mathbb{R}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\N{\mathbb{N}} \def\H{\mathbb{H}} \def\e{\varepsilon}\)
Hmm. Also erstmal wissen wir aus \( \im(T) = \ker(T) \) und aus \( \dim\im(T) + \dim\ker(T) = \dim (V) =: n\), dass \( \dim \ker (T) = \frac{n}{2}\) sein muss, richtig? Also wissen wir schonmal, dass es \( \frac{n}{2}\) Jordanblöcke sind. n muss hierfür natürlich eine gerade Zahl sein, aber wäre n nicht gerade, so könnte \( \dim \im(T) = \dim \ker(T) \) nicht gelten und somit erst recht nicht \( \im(T) = \ker(T) \). Was man auch weiss, ist dass \( \dim \ker (T^2) = n\), ebenso für höhere Potenzen. In der Vorlesung hatten wir eine nette Formel, nämlich:

\( 2\dim\ker(T-\lambda)^k - \dim\ker(T-\lambda)^{k+1} - \dim\ker(T-\lambda)^{k-1} \)

Diese gibt die genaue Anzahl der Jordanblöcke der Größe k zum Eigenwert \( \lambda \) an. Für k=1 bekommt man 0 raus, für k=2 bekommt man n/2 raus, folglich sind alle n/2 Jordanblöcke Blöcke der Größe 2, folglich bekommt man:

\( \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 1 &  & & &  \\0 & 0 &  & & &  \\  &  & \ddots & & & \\ &  &  & & 0 & 1  \\ &  & & & 0 & 0\\ \end{array}\right)  \)

Bei dem Minimalpolynom bin ich mir noch nicht ganz sicher, mir ist der Zusammenhang zwischen den beiden Sachen irgendwie noch nicht so ganz klar, ich werde mir das mal anschauen
\(\endgroup\)


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Achso: Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts im Minimalpolynom gibt die Größe des größten Jordanblocks an. Alles klar. Man kann direkt sehen, dass \( \mu_T (X) = X^2\) das Minimalpolynom von T ist, und daraus sieht man direkt auch, dass 0 die algebraische Vielfachheit 2 besitzt, und daraus folgt das dann auch. Alles klar, vielen Dank für die Hilfe!
\(\endgroup\)


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