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Strukturen und Algebra » Gruppen » Untergruppe von A_4
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Beruf Untergruppe von A_4
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-12


Hallo Zusammen,

Z.z. dass $\mathfrak{A}_4$ besitzt eine einzige Untergruppe der Ordnung 4.

Beweis:
Angenommen $V$ sei eine UG von $\mathfrak{A}_4$. Wegen dem Satz von Lagrange
sind seine Elemente von der Ordnung 1,2, oder 4.

---Beweisunterbruch---

Verstehe ich nicht. Der Satz von Lagrange sagt, dass die Ordnung der UG die Ordnung der Gruppe Teilt.
$\mathfrak{A}_4$ ist von der Ordnung 12 und es ist eine Untergruppe der Ordnung 4 gefragt. Somit wäre der Satz von Lagrange erfüllt.

Stattdessen Macht der Beweis die Aussage dass die "Ordnung der Elemente von V" die Ordnung der Untergruppe teile.

Ich verstehe nicht, wie hier der Satz von Lagrange angewendet wird.




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DavidM
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Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 307
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-12


Hallo sulky,

zunächst einmal wird hier offenbar stillschweigend angenommen, dass $|V|=4$, gezeigt werden soll ja, dass es genau eine solche Untergruppe gibt.

Jetzt sei $g \in V$ und $U$ die von $g$ erzeugte Untergruppe. Die Ordnung von $g$ ist dann $|U|$ und $U$ ist eine Untergruppe von $V$. Also besagt der Satz von Lagrange, dass $|U|$ ein Teiler von $|V|=4$ ist.

Gruß,
David



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thureduehrsen
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Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 805
Aus: Kiel, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-12


Hallo sulky,

du bist kein Compiler. Bitte brich nicht bei der ersten Unklarheit ab, poste also bitte den kompletten Beweis.

Ist dir der Begriff der Ordnung eines Gruppenelements bekannt?

mfg
thureduehrsen

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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sulky
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Mitteilungen: 1442
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


Vielen Dank David und thureduehrsen,

Ja, jetzt kommt es wieder.
Die Ordnung eines Gruppenelementes ist somit sehr wohl ein mathematischer Begriff und beschreibt die Ordnung der durch das Element erzeugenten Untergruppe.

jetzt ist es klar.
Somit kann Ausgeschlossen werden, dass 3-zyklische Permutationen Elememente sind einer UG der Ordnung 4 von $\mathfrak{A}_4$



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