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Analysis » Funktionen » doppelte Nullstellen
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Universität/Hochschule doppelte Nullstellen
ratiopo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-17


Hallo,

seien \(p,q\in\mathbb{C}[X]\) mit \(\deg p=n<m=\deg q\). Wir betrachten nun den Ausdruck
\[p(Y+Z)q(1+Z)q(Z)+p(1+Z)q(Y+Z)q(Z)-2p(Z)q(Y+Z)q(1+Z)\] als Polynom \(r_{Y}(Z)\) in der Variablen \(Z\). Dieses Polynom hat Grad \(2n+m-1\) und ich frage mich, ob es immer ein \(y\) in \(\mathbb{C}\) gibt, sodass \(r_{y}(Z)\) keine doppelte Nullstelle hat?

Sieht jemand ein Gegenbeispiel oder hat eine Idee das zu zeigen?

Man beachte: Angenommen es würde stimmen, dass es immer so eine komplexe Zahl \(y\) gibt, dann kann dieses \(y\) auch als natürliche Zahl gewählt werden. Denn, wenn es ein solches \(y\) gibt, dann kann nur für endlich viele \(y\) das Polynom \(r_{y}(Z)\) eine doppelte Nullstelle haben, weil dann die Resultante von \(r_{Y}(Z)\) und der formalen Ableitung von \(r_{Y}(Z)\) ein nicht-triviales Polynom in der Variablen \(Y\) ist und somit nur endlich viele Nullstellen haben kann.

EDIT: Die beiden Polynome \(p\) und \(q\) haben keine gemeinsamen Nullstellen.

Liebe Grüße
ratio



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2372
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

probier es mal mit Polynomen $p,q$ die gemeinsame Nullstellen haben.
\(\endgroup\)


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ratiopo
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.08.2020
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-17


Hallo Nuramon,

vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe vergessen zu erwähnen, dass die beiden Polynome \(p\) und \(q\) keine gemeinsamen Nullstellen haben.

Liebe Grüße
ratio



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