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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » ** Ziegenproblem 2.0
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Universität/Hochschule J ** Ziegenproblem 2.0
Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-24


Hallo!

Hier eine kleine Abwandlung des berühmten Ziegenproblems:

In einer Spielshow gibt es 3 verschlossene Türen. Hinter den Türen befinden sich ein Auto, eine Ziege und ein Autoschlüssel. Hinter jeder Türe befindet sich genau eines dieser Objekte. Welches Objekt hinter welcher Türe ist, ist Zufall und unbekannt.

Kandidat Albert soll nun 2 beliebige dieser Türen öffnen und wieder schließen. Sein Bruder, Kandidat Bertram, erfährt nicht, welche Türen Albert geöffnet hat und was dahinter war. Dann muss Bertram 2 beliebige Türen öffnen. Nur, wenn Albert das Auto erblickt hat UND Bertram den Autoschlüssel, dann gewinnen die Brüder diese gemeinsam, ansonsten gehen sie leer aus.

Die Brüder dürfen sich beraten, bevor Albert Türen öffnet, danach aber nicht mehr.

Es ist einfach, eine Strategie zu finden, sodass die Brüder mit Wahrscheinlichkeit 50% gewinnen. Man finde jedoch eine Strategie, mit der sie ÜBER 50% Gewinnchance haben.

Bitte Lösungen als PN an mich.

Viel Spaß
Radix



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und nach Ablauf einer (von ihm) festgelegten Zeit alle Lösungen veröffentlichen.
Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-24


Erste richtige Antwort von


tactac


Glückwunsch
Radix



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-24


Zweite richtige Antwort von


Kitaktus


Glückwunsch
Radix



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-25


Dritte richtige Antwort von


Goswin


Glückwunsch
Radix



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-25


Vierte richtige Antwort von


Nuramon


Glückwunsch
Radix



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sebp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-25


2020-08-24 19:56 - Radix im Themenstart schreibt:
...
Sein Bruder, Kandidat Bertram, erfährt nicht, welche Türen Albert geöffnet hat und was dahinter war.
...
Die Brüder dürfen sich beraten, bevor Albert Türen öffnet, danach aber nicht mehr.
...
Die Fragestellung erscheint mir widersprüchlich.
Was dürfen sie denn vereinbaren?



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-25


@sebp

Kein Widerspruch. Bevor A irgendwas auswählt können die Ihre Strategie vorher besprechen. Nach A wählt dann B.


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Pech in der Liebe , Glück im Verlieren !!!



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-25


Fünfte richtige Antwort von


StrgAltEntf


Glückwunsch
Radix



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-25


Sechste richtige Antwort von


gonz


Glückwunsch
Radix



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-25


2020-08-25 12:24 - pzktupel in Beitrag No. 6 schreibt:
Kein Widerspruch. Bevor A irgendwas auswählt können die Ihre Strategie vorher besprechen. Nach A wählt dann B.

...und da keiner erfährt, was der Andere gesehen hat, ist es auch völlig egal, wer zuerst zwei der Türen öffnet.

(Hoffentlich war das jetzt keine unzulässige Hilfe)


-----------------
/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen.



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-25


Siebente richtige Antwort von


cramilu


Glückwunsch
Radix



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-26


Achte richtige Antwort von


JoeM


Glückwunsch
Radix



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-26


Neunte richtige Antwort von


haerter


Glückwunsch
Radix



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-08-26


Ich habe zwar eine ungültige Strategie eingereicht, aber ich will mich nichts ins Ziel hineinraten. Freue mich auf die Auflösung alsbald.


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Pech in der Liebe , Glück im Verlieren !!!



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-31


Hier die Auflösung:

Wenn die Kandidaten sich a priori auf die Türen festlegen, die sie öffnen wollen, können sie maximal eine Gewinnchwahrscheinlichkeit von 1/2 erreichen. Wenn hingegen ihre Strategie a posteriori auf das reagiert, was hinter der geöffneten Tür ist, können sie die Gewinnwahrscheinlichkeit auf 2/3 steigern:

Sie vereinbaren, dass Albert zunächst Tür 1 öffnet, Bertram zunächst Tür 2 und dann umgekehrt. Wer jedoch die Ziege erblickt, öffnet statt dessen Tür 3.

Bezeichnet man den Schlüssel mit S, gewinnen sie mit dieser Strategie bei ASZ, AZS, SAZ, ZSA und verlieren bei SZA, ZAS. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt also 4/6=2/3.

Natürlich gibt es noch andere Lösungen, die dasselbe erreichen, weil die Türen die Rollen tauschen können.

Beim Ziegenproblem 1.0 geben viele die falsche Antwort, weil ihnen ihr Hausverstand sagt: Ist doch irrelevant, wenn der Moderator eine falsche Tür öffnet. Beim Ziegenproblem 2.0 scheiterten viele daran, dass ihnen ihr Hausverstand sagt: Ist doch irrelevant, was hinter der ersten geöffneten Tür ist.

Und die Moral von der Geschicht: Vertraue bei solchen Aufgaben dem Hausverstand nicht!
(Sondern rechne lieber nach.)

Danke an alle, die mitgemacht haben.

Gruß
Radix



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pzktupel
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Aus: Thüringen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-08-31


...


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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-08-31


Ein sehr gutes Rätsel, Radix. Danke!

Grüße Squire



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-08-31


Jeder der beiden hat eine Erfolgschance von 2/3, egal welcher Strategie er folgt. D.h. in vier von sechs Fällen kann er seine eigene Aufgabe erfüllen.

Das Lösungsmotiv ist hier, die Fällen, in denen mindestens einer der beiden keinen Erfolg hat zu bündeln. D.h. wenn einer scheitert, sollte der andere auch scheitern.
Bei dieser Aufgabe ist das perfekt möglich, so dass beide _gleichzeitig_ erfolgreich bzw. nicht erfolgreich sind.



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sebp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-08-31


2020-08-31 15:47 - Radix in Beitrag No. 14 schreibt:
Hier die Auflösung:

Sie vereinbaren, dass Albert zunächst Tür 1 öffnet, Bertram zunächst Tür 2 und dann umgekehrt. Wer jedoch die Ziege erblickt, öffnet statt dessen Tür 3.

Verstehe die Lösung nicht. Das liest sich ja so als würden sie sich abwechseln!?
Albert muss doch erst 2 und dann erst Bertram 2 Türen öffnen.



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-08-31


2020-08-31 19:53 - sebp in Beitrag No. 18 schreibt:
2020-08-31 15:47 - Radix in Beitrag No. 14 schreibt:
Hier die Auflösung:

Sie vereinbaren, dass Albert zunächst Tür 1 öffnet, Bertram zunächst Tür 2 und dann umgekehrt. Wer jedoch die Ziege erblickt, öffnet statt dessen Tür 3.

Verstehe die Lösung nicht. Das liest sich ja so als würden sie sich abwechseln!?
Albert muss doch erst 2 und dann erst Bertram 2 Türen öffnen.

Genau das dachte ich auch, versteht sich aber noch anders.

A öffnet Tor 1 und wenn da die Ziege schon ist, dann Tor 3 statt 2
B öffnet Tor 2 und wenn da die Ziege schon ist, dann Tor 3 statt 1


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-08-31


Die Logik dahinter ist folgende:

Die Basislösung sieht vor, dass A die Türen 1 und 2 öffnet, während B erst 2, dann 1 öffnet.
Wenn jetzt A hinter Tür 1 die Ziege sieht, dann kann B nur dann Erfolg haben, wenn der Schlüssel hinter Tür 2 ist. In diesem Fall ist das Auto hinter Tür 3 und A wählt daher Tür 3.
Entweder ist das Auto hinter Tür 3, dann findet A das Auto (hinter Tür 3) und B den Schlüssel (hinter Tür 2) und alles ist gut.
Ist das Auto nicht hinter Tür 3 (sondern hinter Tür 2), dann ist der Schlüssel hinter Tür 2. In diesem Fall findet A das Auto nicht, aber B findet auch den Schlüssel nicht. _Beide_ scheitern gleichzeitig und das ist ja gerade das, was wir wollen.
Ist die Ziege hinter Tür 2, so ergibt sich das gleiche Muster, nur mit vertauschten Rollen.
Ist die Ziege dagegen hinter Tür 3, so schauen sich beide die Türen 1 und 2 an und finden jeweils sowohl Auto, als auch Schlüssel.

Vielleicht wird jetzt auch so langsam klar, warum beide im ersten Versuch hinter verschiedene(!) Türen schauen müssen.
Um die Wahrscheinlichkeit 2/3 zu erreichen, muss man sicherstellen, dass B immer dann Erfolg hat, wenn A auch Erfolg hat.
O.B.d.A. schaut A zuerst hinter Tür 1. Angenommen dort steht das Auto. A hatte also Erfolg.
Würde B im ersten Schritt auch hinter Tür 1 schauen, so hätte er noch keinen Erfolg (er sucht ja den Schlüssel). Er hat dann aber keine Möglichkeit mehr _sicherzustellen_, dass er im zweiten Versuch die Schlüssel findet. B _muss_ daher im ersten Schritt hinter eine andere Tür als A blicken. O.B.d.A. sei das Tür 2.
Entweder findet er dort die Schlüssel, dann ist alles o.k.
Oder er findet die Ziege, dann muss er hinter Tür 3 schauen, um den Erfolg zu erzwingen.
Analog muss A hinter Tür 3 schauen, falls _er_ im ersten Versuch die Ziege findet.
Was passiert nun, wenn A im ersten Versuch den Schlüssel findet. Kann er dann die dritte Tür öffnen? Nein!
Falls er dort nämlich das Auto findet, sitzt B in der Falle. Der würde ja hinter Tür 2 die Ziege finden und müsste daher auf Tor 3 ausweichen. In dieser Konstellation hätte A also Erfolg, B aber nicht. Genau das müssen sie aber verhindern.
Also kann A im zweiten Versuch nur hinter Tür 2 schauen, falls er im ersten Versuch den Schlüssel gefunden hat. Umgekehrt muss B hinter Tür 1 schauen, wenn er im ersten Versuch das Auto gefunden hat.



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2020-09-01


2020-08-31 15:47 - Radix in Beitrag No. 14 schreibt:
Sie vereinbaren, dass Albert zunächst Tür 1 öffnet, Bertram zunächst Tür 2 und dann umgekehrt. Wer jedoch die Ziege erblickt, öffnet statt dessen Tür 3.
[...]
Natürlich gibt es noch andere Lösungen, die dasselbe erreichen, weil die Türen die Rollen tauschen können.

Es gibt auch andere Lösungen *ohne* dass die Türen "ihre Rollen tauschen":

Albert öffnet zunächst Tür 1, und wenn er Ziege oder Schlüssel erblickt, dann Tür_2. Wenn Albert Auto erblickt, ist es völlig egal, welche Tür er danach öffnet.

Bertram öffnet zunächst Tür 2, und wenn er Ziege oder Auto erblickt, Tür_1. Wenn Bertram Schlüssel erblickt, ist es völlig egal, welche Tür er danach öffnet.



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-01


Gratuliere Albert und Bertram, damit habt ihr es geschafft, die Gewinnwahrscheinlichkeit auf 1/3 zu senken.  ;)



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2020-09-01


2020-09-01 01:19 - Goswin in Beitrag No. 21 schreibt:
2020-08-31 15:47 - Radix in Beitrag No. 14 schreibt:
Sie vereinbaren, dass Albert zunächst Tür 1 öffnet, Bertram zunächst Tür 2 und dann umgekehrt. Wer jedoch die Ziege erblickt, öffnet statt dessen Tür 3.
[...]
Natürlich gibt es noch andere Lösungen, die dasselbe erreichen, weil die Türen die Rollen tauschen können.

Es gibt auch andere Lösungen *ohne* dass die Türen "ihre Rollen tauschen": ...

Ich habe versucht in #20 darzulegen, dass
a) Albert und Bertram als erstes _verschiedene_ Türen öffnen müssen -- nennen wir sie Tür 1 und Tür 2
b) sie beide Tür 3 öffnen müssen, wenn sie im ersten Versuch eine Ziege sehen und
c) sie beide als zweites die "Erstwahl"-Tür des anderen öffnen müssen, wenn sie im ersten Versuch nicht die Ziege, aber auch nicht ihr Zielobjekt  finden (also wenn A die Schlüssel bzw. B das Auto sieht).
Als Variationsmöglichkeiten bleiben neben der Permutation der Türen (6 Möglichkeiten) also nur noch die Wahl der Zweit-Tür, wenn man mit der ersten bereits Erfolg hatte (2 x 2 Möglichkeiten).
Macht zusammen 24 Möglichkeiten.



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-09-06


2020-09-01 01:19 - Goswin in Beitrag No. 21 schreibt:
Albert öffnet zunächst Tür 1, und wenn er Ziege oder Schlüssel erblickt, dann Tür_2. Wenn Albert Auto erblickt, ist es völlig egal, welche Tür er danach öffnet.
Bertram öffnet zunächst Tür 2, und wenn er Ziege oder Auto erblickt, Tür_1. Wenn Bertram Schlüssel erblickt, ist es völlig egal, welche Tür er danach öffnet.

2020-09-01 01:43 - Radix in Beitrag No. 22 schreibt:
Gratuliere Albert und Bertram, damit habt ihr es geschafft, die Gewinnwahrscheinlichkeit auf 1/3 zu senken.  ;)

Wieso? Bei 4 von 6 möglichen Ergebnissen, nämlich \(ASZ \lor AZS \lor SAZ \lor ZSA\), gewinnen sie doch!



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2020-09-06


@Goswin:
Ich pflichte [Radix] bei!
Betrachte doch für die von Dir vorgeschlagene Strategie folgende sechs gleich wahrscheinliche Fälle mit Tür 1 links und Tür 3 rechts:
A S Z ; Albert wählt 1, und danach beliebig ; "Ax" ; Betram "Sx" ; Erfolg
A Z S ; Albert "Ax" ; Bertram "ZA" ; MISSERFOLG
S A Z ; Albert "SA" ; Bertram "AS" ; Erfolg
S Z A ; Albert "SZ" ; MISSERFOLG
Z A S ; Albert "ZA" ; Bertram "AZ" ; MISSERFOLG
Z S A ; Albert "ZS" ; MISSERFOLG
2/6 = 1/3 ...



-----------------

ODERINT DUM NERVOS NE VEXENT!




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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2020-09-06


2020-09-06 21:42 - Goswin in Beitrag No. 24 schreibt:
2020-09-01 01:19 - Goswin in Beitrag No. 21 schreibt:
Albert öffnet zunächst Tür 1, und wenn er Ziege oder Schlüssel erblickt, dann Tür_2. Wenn Albert Auto erblickt, ist es völlig egal, welche Tür er danach öffnet.
Bertram öffnet zunächst Tür 2, und wenn er Ziege oder Auto erblickt, Tür_1. Wenn Bertram Schlüssel erblickt, ist es völlig egal, welche Tür er danach öffnet.

2020-09-01 01:43 - Radix in Beitrag No. 22 schreibt:
Gratuliere Albert und Bertram, damit habt ihr es geschafft, die Gewinnwahrscheinlichkeit auf 1/3 zu senken.  ;)

Wieso? Bei 4 von 6 möglichen Ergebnissen, nämlich \(ASZ \lor AZS \lor SAZ \lor ZSA\), gewinnen sie doch!
@Goswin:
Um es noch einmal kurz zu machen: Wie kommst du drauf, dass die beiden mit deiner Strategie bei ZSA gewinnen?



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2020-09-07


@radix, cramilu, StrgAltEntf:
Ihr habt alle recht. Ich wollte nur zeigen, dass es Lösungen gibt die keiner Permutation der Türen entsprechen, und habe meine Ergebnisse dann falsch hingeschrieben. Peinlich.



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