| |
| Autor |
 Taylor-Entwicklung in mehreren Dimensionen |
|
Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2020-08-25
|
Hallo,
Mir ist bekannt, wie die Taylor-Reihen Entwicklung einer Funktion \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) aussieht, aber wie funktioniert das bei einer anderen Funktion \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\)?
Bei der zweiten Ableitung tue ich mich schwer, da ich mir noch nicht vorstellen wie \(f‘‘\) aussieht. Und bei allen höheren Ableitungen versagt meine Vorstellung komplett. Ich weiss zwar theoretisch, dass das dann eine Matrix von Matritzen sein müsste, aber wie man damit rechnet wurde mir in der Vorlesung nie erläutert.
|
 Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-25
|
Hallo,
Das Prinzip ist das gleiche $f(x+tv)$ wird in eine Taylorreihe nach $t$ entwickelt.
Gruß von BigR2020
|
Profil
|
Conny42
Senior 
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 155
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-25
|
Huhu Nullring,
die Verallgemeinerung der zweiten Ableitung für Funktionen $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ist die Hesse-Matrix:
$H_f = \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\right)_{i,j=1,\dots,n}$.
Das Taylorpolynom vom Grad $k$ einer Funktion $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ an der Stelle $x \in \mathbb{R}^n$ mit Entwicklungspunkt $x_0 \in \mathbb{R}^n$ ist gegeben durch
$P^{(k)}_{f,x_0}(x) := \displaystyle\sum_{|\alpha| \leq k} \dfrac{\partial^{\alpha} f(x_0)}{\alpha!} (x-x_0)^{\alpha}$.
Dabei sind $\alpha \in \mathbb{N}_0^n$ Multiindices und ich habe die folgenden Notationen verwendet:
$|\alpha| := \displaystyle \sum_{j=1}^n \alpha_j$
$\alpha! := \displaystyle \prod_{j=1}^n \alpha_j!$
$\partial^{\alpha} f := \dfrac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1} \dots \partial x_n^{\alpha_n}}$
Beispielsweise ergibt sich für das Taylorpolynom $P^{(2)}_{f,x_0}$ an der Stelle $x \in \mathbb{R}^n$:
$P^{(2)}_{f,x_0}(x) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0),(x-x_0)\rangle + \dfrac{1}{2} \langle (x-x_0) H_f(x_0), (x-x_0)\rangle$.
Rechne das am besten einmal nach! ;)
Hier übernimmt also der Gradient der Funktion die Rolle der ersten Ableitung und die Hesse-Matrix die Rolle der zweiten Ableitung.
Für Funktionen $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ kannst du komponentenweise vorgehen.
Liebe Grüße,
Conny
|
Profil
|
Triceratops
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-25
|
Dazu wurde erst kürzlich hier ein sehr guter Artikel veröffentlicht:
Vercassivelaunos, Die Taylorentwicklung mit linearer Algebra verstehen, https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1903
|
Profil
|
| Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
