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Integration » Integration im IR^n » Substitution von 2-D-Integralgrenzen
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Universität/Hochschule J Substitution von 2-D-Integralgrenzen
Batman2708
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-29


Hallo,

ich möchte ein zweidimensionales Integral per Substitution berechnen. Die Teilschritte mit der Determinante der Jacobi-Matrix sind soweit klar, ich verstehe nur nicht, wie ich die Integralgrenzen "anpasse".

Gegeben ist das Integral
\[I=\int_0^\beta {\rm d}\lambda_1\int_0^{\lambda_1}{\rm d}\lambda_2\, e^{g(x)*(\lambda_2-\lambda_1)}\;.\] Ich substituiere nun \(\lambda=\lambda_1-\lambda_2\) und \(\lambda'=\lambda_1+\lambda_2\), also \(\lambda_2=(\lambda'-\lambda)/2\) sowie \(\lambda=(\lambda+\lambda')/2\), dann erhalten wir die Funktionaldeterminante
\[DJ=\det\begin{pmatrix}
1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2
\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\;,\] sodass
\[I=\int_?^? {\rm d}\lambda\int_?^{?}{\rm d}\lambda'\, e^{g(x)*\lambda}\cdot\frac{1}{2}\;.\]
Ich habe jetzt länger im Internet gesucht, aber ich verstehe die Ausführungen schlichtweg nicht. Könnte mir jemand einen Ratschlag geben, wie ich die Grenzen finden kann?

Mit freundlichen Grüßen,

Batman



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-29


Hallo Batman,

der Integrationsbereich des Ausgangsintegrals ist ein Dreieck im \(\IR^2\) mit den Ecken \(A=(0,0),B=(\beta,0),C=(\beta,\beta)\). Dieses wird durch \((\lambda_1,\lambda_2)\mapsto\phi(\lambda_1,\lambda_2)=(\lambda,\lambda')\) auf ein Dreieck mit den Ecken \(A'=\phi(A),B'=\phi(B),C'=\phi(C)\) abgebildet. Berechne A', B' und C' und bestimme daraus den Integrationsbereich für das zweite Integral.

PS: Was ist das für eine eigentümliche Schreibweise für ein Doppelintegral??



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-29


Huhu,

2020-08-29 13:59 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
PS: Was ist das für eine eigentümliche Schreibweise für ein Doppelintegral??

das ist eine durchaus verbreitete Schreibweise. Siehe dazu z.B.:



LinkHerleitung der Betaverteilung

Gruß,

Küstenkind



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Batman2708
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-29


Vielen Dank für die Antwort.

Das ist die übliche Schreibweise in der Physik, so wie ich sie seit Jahren anwende und in allen Veröffentlichungen lese. Tatsächlich ist die Schreibweise der Mathematik ein Problem für mich (Edit: sagen wir eher mal, sie ist ungewohnt), die ich seit Jahren nicht mehr genutzt habe. Zum Beispiel fällt mir deine Schreibweise ebenfalls schwer und ich musste sie zehnmal lesen .

Ich nehme an, dass deine Abbildung \(\Phi\) geschrieben werden kann als
\[\Phi(\lambda_1,\lambda_2)=\left(\lambda=\lambda_1-\lambda_2,\;\lambda'=\lambda_1+\lambda_2\right)\;,\] korrekt?

Zum Integral. Es hilft hier offensichtlich, wenn sich das Integral als Doppelsumme vorstellt, wie man es zum Beispiel numerisch berechnen würde. Zumindest kann ich so das Dreieck "sehen".

Mit obiger Abbildungsvorschrift findet man dann:
\[A'=(0,0)\;,\;\;B'=(\beta,\beta)\;,\;\;C'=(0,2\beta)\;.\]
Mir fallen jetzt eher geometrische Überlegungen ein, wie man den Flächeninhalt berechnet könnte, aber wie ich über diese Punkte die Integrationsgrenzen bestimmen könnte, sehe ich hier nicht.

Nochmals vielen Dank für die Hilfe und ich wäre über einen erneuten Ratschlag erfreut.

Beste Grüße,

Batman

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-29


2020-08-29 14:22 - Batman2708 in Beitrag No. 3 schreibt:
1) Ich nehme an, dass deine Abbildung \(\Phi\) geschrieben werden kann als
\[\Phi(\lambda_1,\lambda_2)=\left(\lambda=\lambda_1-\lambda_2,\;\lambda'=\lambda_1+\lambda_2\right)\;,\] korrekt?

2) Mit obiger Abbildungsvorschrift findet man dann:
\[A'=(0,0)\;,\;\;B'=(\beta,\beta)\;,\;\;C'=(0,2\beta)\;.\]
3) Mir fallen jetzt eher geometrische Überlegungen ein, wie man den Flächeninhalt berechnet könnte, aber wie ich über diese Punkte die Integrationsgrenzen bestimmen könnte, sehe ich hier nicht.

1) Schreibe es besser so:
\[\Phi(\lambda_1,\lambda_2)=(\lambda,\lambda')=\left(\lambda_1-\lambda_2,\;\lambda_1+\lambda_2\right)\;,\]
2) richtig

3) Um den Flächeninhalt geht es hier ja nicht. Für den Integrationsbereich gilt: \(0\leq\lambda\leq\beta\), \(\lambda\leq\lambda'\leq2\beta-\lambda\).



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Batman2708
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-29


Erneut vielen Dank.

Zu 1). Danke, werde ich übernehmen.

Zu 3). Warum gilt das? Ich sehe den Zusammenhang nicht (respektive wie man darauf kommt).

Herzliche Grüße,

Batman



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-29


2020-08-29 14:18 - Kuestenkind in Beitrag No. 2 schreibt:
das ist eine durchaus verbreitete Schreibweise. Siehe dazu z.B.:



Danke für den Link!

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-29


Hier dann noch 2 Bilder:

Dreieck 1:

Dreieck 2:

Gruß,

Küstenkind

edit: Für \(\beta=2\)



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2020-08-29 14:35 - Batman2708 in Beitrag No. 5 schreibt:
zu 3). Warum gilt das? Ich sehe den Zusammenhang nicht (respektive wie man darauf kommt).

Hast du das mal skizziert? \(\lambda\) liegt zwischen 0 und \(\beta\). Und abhängig von \(\lambda\) kann \(\lambda'\) dann zwischen \(\lambda\) und \(2\beta-\lambda\) wandern.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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Batman2708
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Erstmal danke für die Abbildungen, Kuestenkind.

Je länger ich darauf schaue, desto klarer wird es.

Gibt es da keine andere Möglichkeit zur Berechnung der Integralgrenzen? Wenn man zum Beispiel ein dreidimensionales Integral berechnen möchte wie
\[\int_0^\beta{\rm d}\lambda_1\,\int_0^{\lambda_1}{\rm d}\lambda_2\,\int_0^{\lambda_2}{\rm d}\lambda_3\,e^{f(\lambda_1-\lambda_2)+g(\lambda_3-\lambda_1)+h(\lambda_2-\lambda_3)}\;,\] \(\kappa_1=\lambda_1-\lambda_2\;,\;\;\kappa_2=\lambda_3-\lambda_1\;,\;\;\kappa_3=\lambda_2-\lambda_3\), und dann die Integralgrenzen bestimmen möchte, wird es doch schon deutlich schwerer/unübersichtlicher. Oder ein vier- oder fünfdimensionales Integral...

Aber, nochmals vielen Dank!



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StrgAltEntf
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Ich denke, dass dein Beispiel noch relativ einfach sein müsste. Noch komplizierter wird es freilich, wenn die Grenzen bzw. die Substitution nicht linear sind. Das ist aber auch nicht mein täglich Brot, deshalb weiß ich nicht, ob es da Patentrezepte gibt.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-08-29


Was meist nicht schlecht ist: das Gebiet skizzieren.

Viele Grüße

Wally



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Batman2708
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Alles klar. Nochmals vielen Dank :-).



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Huhu Batman,

allgemein geht sowas ja über den Transformationssatz . Aber es gilt wohl, was Roland dort schon in #5 im Jahre 2007 festgestellt hat: Leider ist (fast) nichts auf der Welt umsonst. Wenn du also einen einfachen Integranden haben möchtest, ist der Preis, den du dafür zahlst, dir eben Gedanken über das transformierte Gebiet machen zu müssen. Und je höher die Dimension wird, desto komplizierter wird es wohl leider.

Du kannst natürlich auch etwas rechnen. Dein erstes Integrationsgebiet wird ja durch die Linien \(\lambda_2=0\), \(\lambda_1=\beta\) und \(\lambda_2=\lambda_1\) im \(\lambda_1\lambda_2\)-Koordinatensystem beschrieben. Transformieren wir das durch \(\lambda_1=\frac{\lambda+\lambda'}{2}\) und \(\lambda_2=\frac{\lambda'-\lambda}{2}\) in das \(\lambda\lambda'\)-Koordinatensystem, ergibt sich:

\(\lambda_2=0 \Rightarrow \frac{\lambda'-\lambda}{2}=0\Rightarrow \lambda'=\lambda \)

\(\lambda_1=\beta \Rightarrow \frac{\lambda+\lambda'}{2}=\beta \Rightarrow \lambda'=2\beta-\lambda \)

\(\lambda_2=\lambda_1 \Rightarrow \frac{\lambda'-\lambda}{2}=\frac{\lambda+\lambda'}{2} \Rightarrow \lambda=0\)

Diese 3 Linien bilden also dein neues Integrationsgebiet.

Gruß (und einen schönen Sonntag wünscht),

Küstenkind



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Batman2708
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Vielen Dank Kuestenkind, das hilft mir sehr! Ich werde mich detailliert damit befassen.



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