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  Richtige Anwendung der Kettenregel |
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sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1964
 |  Themenstart: 2020-08-29
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Hallo zusammen,
Meine Frage lässt sich wohl im wesentlichen darauf zurückführen was genau der Unterschied zwischen $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ und $\frac{df(x,y)}{dx}$ ist.
Bereits im Kurs "Differentialrechung" war ich verblüfft dass dies eben doch nicht dasselbe ist. Damals hat es mir hier auf MP jemand erklärt.
Dank dieser Erklärung konnte ich damals an der Prüfung eine gute Note machen aber ich muss leider zugeben, dass ich es zwischenzeitlich wieder vergessen habe.
Am Beispiel des Beweises dass die komplexe Logarithmusfunktion $ln(r)+i\theta$ auf ganz $\mathbb{C} \backslash \mathbb{R}_{-} \times ]-\pi,\pi[$ komplex differenzierbar ist.
Hierzu verlangt der Satz von Cauchy-Riemann, dass $\frac{\partial f}{\partial y}= i\frac{\partial f}{\partial x}$
Ganz interessant, dass meine Fehlerbehaftete Rechnung bei diesem Beispiel, genauso wie bei anderen Beispielen ergibt: $y=ix$
Aber zunächst die Lösung aus dem Lehrmittel:
Sei $f(r\cdot cos(\theta), r\cdot sin(\theta))=ln(r)+i\theta$
Durch ableiten nach $r$ bzw $\theta $ erhält man:
$cos(\theta)\frac{\partial f}{\partial x}+sin(\theta)\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{r}$
Dies verstehe ich überhaupt nicht.
woher kommen nun $x$ und $y$?
Das $\frac{1}{r}$ rechst des Gleichheitszeichen verstehe ich noch.
Aber für mich ist hier: $\frac{\partial f(r\cdot cos(\theta), r\cdot sin(\theta))}{\partial r}$ nach der Kettenregel
$=\frac{\partial f}{\partial r} cos(\theta)+\frac{\partial f}{\partial r} sin(\theta)$
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung warum dort wo bei mir $\partial r$ steht im Lehrmittel $\partial x$ steht?
Sehr wahrscheinlich bin ich im Gleichen Irrtum wenn ich wie folgt rechne:
$\frac{\partial(ln(r)+i\theta)}{\partial y}$
$=\frac{1}{r} \frac{\partial r}{\partial y} + i\frac{\partial \theta}{\partial y}$
$=\frac{1}{r}\cdot \frac{1}{2} \frac{2y}{\sqrt{x^y+y^2}}+i\cdot \frac{\partial arctan(y/x)}{\partial y}$
$=\frac{y}{r^2}+i\frac{\frac{1}{x}}{1+(\frac{y}{x})^2}$
Dies stimmt offensichtlich nicht und ich weiss nicht weshalb. Wenn ich nun genauso verfahre mit $i \cdot \frac{\partial(ln(r)+i\theta)}{\partial x}$
Und gemässe Cauchy_Riemann gleichsetze, dann erhalte ich $y=ix$
Was mache ich falsch?
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-29
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Hallo,
$cos(\theta)\frac{\partial f}{\partial x}+sin(\theta)\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{r}$
Es wurde einfach nach $r$ differenziert. Es gilt $x=r*cos(\theta)$ und $y=r*sin(\theta)$. $x$ abgeleitet nach $r$ ergibt $cos(\theta)$ und $y$ abgeleitet nach $r$ ergibt $sin(\theta)$.
Gruß von BigR2020
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sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-29
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sorry, ich seh's nicht.
ist $cos(\theta)\frac{\partial f}{\partial r}+sin(\theta)\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{1}{r}$
noch richtig? Meiner Meinung nach ja.
Wie kommt man nun von $cos(\theta)\frac{\partial f}{\partial r}+sin(\theta)\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{1}{r}$ auf $cos(\theta)\frac{\partial f}{\partial x}+sin(\theta)\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{r}$?
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-29
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Man nennt es totale Ableitung nach $r$.
$\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}=\frac{1}{r}$
Gruß von BigR2020
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sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-29
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Wir kennen den Begriff "totales Differential".
Ist dies dasselbe wie "totale Ableitung"?
Dann wäre:
$\frac{df(r\cdot cos(\theta),r\cdot sin(\theta))}{dr}= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dr}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dr}$
Darf man dies jetzt dem Ausdruck $\frac{df}{dr}$ gleichsetzen?
hmmm.... eigentlich stehts ja ganz klar da.
Kann ich nun die Ableitung gewohnheitsgemäss machen?
$\frac{1}{r}= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dr}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dr}= \frac{\partial f}{\partial x}cos(\theta)+\frac{\partial f}{\partial y}\sin(\theta)$
Und nun steht hier genau dasselbe wie im Skript.
Vielen Dank BigR.
Trotzdem noch die Frage:
Es ist nicht korrekt den Ausdruck $\frac{\partial f}{\partial y}$ so auszuwerten wie ich dies in Beitrag 1 gemacht habe?
Habe ich dort irgend etwas falsch gemacht? Oder oder liege ich einfach komplett daneben?
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-30
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Zur Antwort auf die Frage möchte ich Wolfgang Pauli zitieren: "Das ist nicht nur nicht richtig, das ist nicht einmal falsch."
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sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-30
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eben. Ich muss zugeben, dass obwohl ich es nun auf Wikipedia nachgelesen habe ich folgendes trotzdem nicht verstehe:
Nehmen wir als Beispiel die Funktion $ln(z)$
wie kann ich nun die Operation $\frac{\partial ln(z)}{\partial x}$ ausführen?
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-31
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\[\frac{\partial ln(z)}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} \]
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sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-31
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na gut, ich habe erneut den Fehler gemacht $\frac{\partial}{\partial x}$ gleichzuseten mit $\frac{d}{dx}$ was natürlich falsch ist.
Aber die Fraage ist beantwortet und ich weiss jetzt wirklich etwas, das ich zuvor nicht wusste.
Vielen Dank BigR
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