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  Nicht-Differenzierbarkeit der Thomae-Funktion |
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WagW
Aktiv 
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Mitteilungen: 539
 |  Themenstart: 2020-09-04
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Hallo zusammen,
sei folgende Funktion $f:\IR\to\IR$ gegeben:
$$f(x)=\begin{cases} 0 \text{ ; falls } x \in \IR\setminus\IQ \\\frac 1 q \text{ ; falls } x=\frac p q \in\IQ \text{ vollständig gekürzt}.\end{cases}$$
Ich möchte zeigen, dass diese Funktion nirgends differenzierbar ist. Wir wissen bereits, dass die Funktion nur in den irrationalen Zahlen stetig ist und sich damit die Frage nach der Differenzierbarkeit in den rationalen Zahlen erübrigt.
Mein Ansatz:
Sei $\pi$ irgendeine irrationale Zahl. Falls wir eine Folge $\left(x_k\right)_{k\in\mathbb{IN}}$ mit $\lim\limits_{k\to \infty}x_k=\pi$ und $x_k \in\IR\setminus\IQ$ in den Differenzialquotienten einsetzen, ergibt sich:
$$
\lim\limits_{k\to \infty}\frac{f(x_k)-f(\pi)}{x_k-\pi}= \lim\limits_{k\to \infty}\frac{0-0}{x_k-\pi}=0.
$$
Jetzt nutzen wir die Eigenschaft, dass es für alle $k\in\mathbb{N}$ ein eindeutiges $p_k\in\mathbb{Z}$ gibt, sodass: $(p_k-1)<\pi k
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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-04
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Dein Beweis sieht richtig aus. Nur einige Formulierungen sind unüblich/nicht ganz korrekt.
\quoteon(2020-09-04 00:25 - WagW im Themenstart)
Sei $\pi$ irgendeine irrationale Zahl.
\quoteoff
Diese Notation in $\mathbb{R}$ zu wählen, finde ich nicht so gut. Außerdem solltest du schreiben, dass du annimmst, $f$ wäre in $\pi$ differenzierbar, denn das verwendest du.
\quoteon(2020-09-04 00:25 - WagW im Themenstart)
Falls wir eine Folge $\left(x_k\right)_{k\in\mathbb{IN}}$ mit $\lim\limits_{k\to \infty}\left(x_k\right)_{k\in\mathbb{IN}}=\pi$
\quoteoff
Schreibe besser $\lim_{k \to \infty} x_k$ als $\lim_{k \to \infty} (x_k)_k$.
\quoteon(2020-09-04 00:25 - WagW im Themenstart)
$\left(a_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ mit $a_k\in \mathbb{Q}$:
$$a_0:=0,\\
a_1:=\frac{p_k}{k}, \text{mit } \pi<\frac{p_k}{k}<\pi+\frac{1}{k},\\
\cdots\\
a_n:=\frac{p_n}{n}, \text{mit } \pi<\frac{p_n}{n}<\pi+\frac{1}{n}.
$$
\quoteoff
Typo bei $a_1$ denke ich.
\quoteon(2020-09-04 00:25 - WagW im Themenstart)
$$
\lim\limits_{k\to \infty}\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi}\geq \lim\limits_{k\to \infty}\frac{\frac{1}{k}-0}{\frac{p_k}{k}-\pi}=\lim\limits_{k\to \infty}\frac{1}{p_k-k\pi}.
$$
\quoteoff
Das machen leider viele, ist so aber nicht ganz korrekt. Schreibe nicht $\geq$ zwischen Limits, wenn nicht klar ist, dass beide Grenzwerte existieren. (Denn was soll $\geq$ bedeuten, falls ein Grenzwert nicht existieren sollte?)
Was du damit sagen möchtest, ist aber okay.
\quoteon(2020-09-04 00:25 - WagW im Themenstart)
Insbesondere gilt das Ungleichheitszeichen"$\geq$", da für jedes kürzbare Folgenglied $a_k=\frac{p_k}{k}$ folgt, dass $f(\frac{p_k}{k})\geq \frac{1}{k}$. Jetzt bemerken wir, dass $\lim\limits_{k\to \infty}\frac{1}{p_n-n\pi}=0$ nur dann gelten kann, wenn der Nenner $(p_n-n\pi)$ gegen $\infty$ strebt. Dies ist aufgrund der derart definierten Folge nicht möglich, denn für alle $k\in\mathbb{N}$ gilt $(p_k-k\pi)<1$.
\quoteoff
"Für jedes (nicht-zwingend) kürzbare". Im letzten Schritt benutzt du auch $p_k - k \pi > 0$, um $p_k - k \pi \not \to - \infty$ zu erhalten.
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WagW
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-04
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Hallo Kezer,
Danke schonmal fürs drüberschauen :)
Ich habe noch ein paar kleine Änderungen vorgenommen. Kann man das jetzt so stehen lassen?
Wieso muss ich für meinen Beweis annehmen, dass $f$ in $\pi$ differenzierbar wäre? Ich habe das doch nirgendwo verwendet. Oder habe ich was übersehen?
viele Grüße
WagW
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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-04
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Ah sorry, mein Denkfehler, die Annahme braucht man hier nicht. :-)
\quoteon(2020-09-04 00:25 - WagW im Themenstart)
Wenn wir diese Folge nun in den Differenzialquotienten einsetzen, erhalten wir für alle $k\in\mathbb{N}$:
$$
\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi}\geq \frac{\frac{1}{k}-0}{\frac{p_k}{k}-\pi}=\frac{1}{p_k-k\pi}.
$$
Insbesondere gilt das Ungleichheitszeichen"$\geq$", da für jedes kürzbare Folgenglied $a_k=\frac{p_k}{k}$ folgt, dass $f(\frac{p_k}{k})\geq \frac{1}{k}$. Jetzt bemerken wir, dass $\lim\limits_{k\to \infty}\frac{1}{p_k-k\pi}=0$ nur dann gelten kann, wenn der Nenner $(p_k-k\pi)$ gegen $+/-\infty$ strebt. Dies ist aufgrund der derart definierten Folge nicht möglich, denn für alle $k\in\mathbb{N}$ gilt $0<(p_k-k\pi)<1$. Falls
$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi}$ nun existiert, so ist dieser Grenzwert strikt größer als eine positive Zahl.
\quoteoff
Das habe ich im letzten Beitrag nicht gesehen, dieses Argument ist noch nicht ganz vollständig. Die Aussage $p_k - k \pi \not \to 0$ impliziert nicht $\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi} \not \to 0$.
Das musst du also (leicht) modifizieren.
\quoteon(2020-09-04 00:25 - WagW im Themenstart)
Falls
$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi}$ nun existiert, so ist dieser Grenzwert strikt größer als eine positive Zahl.
\quoteoff
Und was wäre, wenn es nicht existiert?
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WagW
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-08
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Hallo Kezer,
ich bin mir was unsicher bei Deinen Anmerkungen, vielleicht kannst Du mir da nochmal genauer sagen wie Du das meinst:
\quoteon(2020-09-04 15:37 - Kezer in Beitrag No. 3)
[...]
\quoteon(2020-09-04 00:25 - WagW im Themenstart)
Wenn wir diese Folge nun in den Differenzialquotienten einsetzen, erhalten wir für alle $k\in\mathbb{N}$:
$$
\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi}\geq \frac{\frac{1}{k}-0}{\frac{p_k}{k}-\pi}=\frac{1}{p_k-k\pi}.
$$
Insbesondere gilt das Ungleichheitszeichen"$\geq$", da für jedes kürzbare Folgenglied $a_k=\frac{p_k}{k}$ folgt, dass $f(\frac{p_k}{k})\geq \frac{1}{k}$. Jetzt bemerken wir, dass $\lim\limits_{k\to \infty}\frac{1}{p_k-k\pi}=0$ nur dann gelten kann, wenn der Nenner $(p_k-k\pi)$ gegen $+/-\infty$ strebt. Dies ist aufgrund der derart definierten Folge nicht möglich, denn für alle $k\in\mathbb{N}$ gilt $0<(p_k-k\pi)<1$. Falls
$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi}$ nun existiert, so ist dieser Grenzwert strikt größer als eine positive Zahl.
\quoteoff
Das habe ich im letzten Beitrag nicht gesehen, dieses Argument ist noch nicht ganz vollständig. Die Aussage $p_k - k \pi \not \to 0$ impliziert nicht $\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi} \not \to 0$
\quoteoff
Meinst Du hier nicht eher: "Die Aussage $p_k - k \pi \not \to \underline{\infty}$ impliziert nicht $\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi} \not \to 0$".
\quoteon
Das musst du also (leicht) modifizieren.
[...]
\quoteoff
Hier verstehe ich nicht so ganz wie Du das meinst? Ich habe gezeigt, dass $01$. Also kann, falls ein Limes existiert, nicht $\lim\limits_{k\to \infty}\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi} =0$ sein. Daher hätte ich jetzt gedacht, dass $p_k - k \pi \not \to \infty$ doch die Aussage $\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi} \not \to 0$ impliziert. Oder wo ist da mein Denkfehler?
\quoteon(2020-09-04 15:37 - Kezer in Beitrag No. 3)
[...]
\quoteon(2020-09-04 00:25 - WagW im Themenstart)
\quoteon(2020-09-04 00:25 - WagW im Themenstart)
Falls
$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi}$ nun existiert, so ist dieser Grenzwert strikt größer als eine positive Zahl.
\quoteoff
Und was wäre, wenn es nicht existiert?
\quoteoff
\quoteoff
Falls er nicht existiert, so habe ich ja eine gegen $\pi$ konvergente Folge gefunden, sodass $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi}$ nicht existiert, also existiert $\lim\limits_{x\to\pi}\frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}$ nicht (im Sinne des Folgenkriteriums für Grenzwerte) bzw. $f$ ist in diesem Punkt nicht differenzierbar.
viele Grüße
WagW
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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-08
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\quoteon(2020-09-08 16:10 - WagW in Beitrag No. 4)
Meinst Du hier nicht eher: "Die Aussage $p_k - k \pi \not \to \underline{\infty}$ impliziert nicht $\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi} \not \to 0$".
\quoteoff
Ja.
\quoteon(2020-09-08 16:10 - WagW in Beitrag No. 4)
Hier verstehe ich nicht so ganz wie Du das meinst? Ich habe gezeigt, dass $01$. Also kann, falls ein Limes existiert, nicht $\lim\limits_{k\to \infty}\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi} =0$ sein. Daher hätte ich jetzt gedacht, dass $p_k - k \pi \not \to \infty$ doch die Aussage $\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi} \not \to 0$ impliziert. Oder wo ist da mein Denkfehler?
\quoteoff
Du hast hier doch bereits $\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi} >1$ und somit $\lim_{k\to \infty}\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi} \neq 0$, falls existent, gezeigt. Wozu also noch dieser Grenzwert und wie soll er helfen?
\quoteon(2020-09-08 16:10 - WagW in Beitrag No. 4)
Falls er nicht existiert, so habe ich ja eine gegen $\pi$ konvergente Folge gefunden, sodass $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi}$ nicht existiert, also existiert $\lim\limits_{x\to\pi}\frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}$ nicht (im Sinne des Folgenkriteriums für Grenzwerte) bzw. $f$ ist in diesem Punkt nicht differenzierbar.
\quoteoff
Richtig, gut. :-)
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WagW
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-08
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Hallo Kezer,
ich glaube jetzt habe ich Deinen Punkt verstanden. Den Grenzwert $\lim\limits_{k\to\infty}(p_k-k\pi)$ brauche ich mir gar nicht mehr anzuschauen, da ich für alle $k$ bereits sagen/abschätzen kann:
$\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi} \geq \frac{1}{p_k-k\pi}>\frac{1}{1}=1$.
Falls der Grenzwert also existiert würde daraus folgen:
$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(a_k)-f(\pi)}{a_k-\pi} \geq 1\neq 0$.
viele Grüße
WagW
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Kezer
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-08
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Ja, jetzt passt alles, gut. :-)
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