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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Interpretation einer Matrix (Kern/Bild)
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Universität/Hochschule J Interpretation einer Matrix (Kern/Bild)
MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-05


Hallo!

Ich habe folgende Matrix vor mir:

\(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)

Ich möchte nun: Die Dimension des Kerns / Bildes dieser Abbildung und eine Basis des Bildes und Kerns bestimmen.

Zuerst ist mir aufgefallen, dass die Matrix eine 5x7 Matrix ist. Damit weiß ich, bezogen auf Matrix-Vektor-Multiplikation, dass von \(\mathbb{R}^{7}\) auf \(\mathbb{R}^{5}\) abgebildet wird.

Zunächst mal nur die Dimensionen, damit tue ich mich gerade schon etwas schwer. Ich kenne den Dimensionssatz, also dimV = dimKern($\varphi$) + DimBild($\varphi$).

Desweiteren habe ich erkannt das die Matrix bereits in Zeilenstufenform ist. Dies sollte hilfreich sein, da die Anzahl der Pivotspalten gleich dem Rang der Matrix und somit der Dimension des Bildes entsprechen. Die Dimension des Kerns könnte ich dann durch 7 - dimBild berechnen. Ist das alles so richtig bisher?

Ich finde die Darstellung dieser Matrix nur etwas komisch und weiß gerade nicht mehr ganz wie Pivotspalten definiert sind. Wie viele solcher Spalten gibt es hier denn? 4?

Wenn 4 stimmt müsste der Kern ja die Dimension 1 haben oder?

Mfg!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

\(\dim\left(\on{Bild(\varphi})\right)=4\) ist richtig (Begründung passt auch). Bei der Dimension des Kerns solltest du nochmal überlegen: welche Dimension hat der Urbild-Raum?

Du könntest zur Kontrolle auch die Matrix als Koeffizientenmatrix eines LGS auffassen und überlegen, wie viele Variablen man durch Parameter ausdrücken müsste, um die Lösungsmenge darzustellen. Dabei musst du unbedingt die Nullspalte beachten.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-09-05 19:11 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

\(\dim\left(\on{Bild(\varphi})\right)=4\) ist richtig (Begründung passt auch). Bei der Dimension des Kerns solltest du nochmal überlegen: welche Dimension hat der Urbild-Raum?

Du könntest zur Kontrolle auch die Matrix als Koeffizientenmatrix eines LGS auffassen und überlegen, wie viele Variablen man durch Parameter ausdrücken müsste, um die Lösungsmenge darzustellen. Dabei musst du unbedingt die Nullspalte beachten.


Gruß, Diophant

Oh, ups 🤒
Da war ich zu voreilig weil ich schnell weg musste nachdem ich diesen Post erstellt habe. Ich habe ja bereits gesagt, dass wir von 7 nach 5 abbilden, wenn also das Bild die Dimension 4 hat dann hat der Kern die Dimension 3. Jetzt aber richtig so, oder noch was verwechselt 😄?

Mfg
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-05


Hallo,

jetzt passt es. 👍


Gruß, Diophant



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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06


2020-09-05 23:51 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,

jetzt passt es. 👍


Gruß, Diophant

Super, danke 🙂

Zu den Basen: Wir haben gelernt das die Basis des Bildes genau die Pivotspalten darstellen. Die Matrix ist uns nur in dieser Form gegeben, also in Zeilenstufenform. In anderen Aufgaben haben wir dann die Spalten der ursprünglichen Matrix als Basis des Bildes genommen, welche Pivotspalten in der Zeilenstufenform darstellten. Aber eigentlich sollte es ja keinen Unterschied machen, oder?

Bei der Basis des Kerns sind wir immer so vorgegangen, das wir für jede nicht eindeutig festgesetzte Unbekannte, eine von diesen auf 1 und den Rest auf 0 gesetzt haben und dann so den Vektor ausgerechnet. Passt das alles so? Könnte man mir vielleicht einen Tipp geben wie einer der Vektoren für die Basis des Kerns damit aussieht? Irgendwie verwirrt mich die Größe dieser Matrix etwas. Nicht festgesetzt sind ja x7, x6 und x5 oder?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-09-06 09:29 - MePep in Beitrag No. 4 schreibt:
Zu den Basen: Wir haben gelernt das die Basis des Bildes genau die Pivotspalten darstellen. Die Matrix ist uns nur in dieser Form gegeben, also in Zeilenstufenform. In anderen Aufgaben haben wir dann die Spalten der ursprünglichen Matrix als Basis des Bildes genommen, welche Pivotspalten in der Zeilenstufenform darstellten. Aber eigentlich sollte es ja keinen Unterschied machen, oder?

Die Pivotspalten sind ja linear unabhängig, darauf kommt es an. Wenn du allgemein eine Matrix betrachtest dann kannst du die Spalten nur dann als Basis des Bilds verwenden, wenn die Matrix vollen (Spalten-)Rang hat. Insofern ist die Zeilenstufenform hier nicht die schlechteste Idee.

2020-09-06 09:29 - MePep in Beitrag No. 4 schreibt:
Bei der Basis des Kerns sind wir immer so vorgegangen, das wir für jede nicht eindeutig festgesetzte Unbekannte, eine von diesen auf 1 und den Rest auf 0 gesetzt haben und dann so den Vektor ausgerechnet. Passt das alles so? Könnte man mir vielleicht einen Tipp geben wie einer der Vektoren für die Basis des Kerns damit aussieht? Irgendwie verwirrt mich die Größe dieser Matrix etwas. Nicht festgesetzt sind ja x7, x6 und x5 oder?

Das könntest du schon auch selbst versuchen. Aus der zweituntersten Zeile folgt doch bspw. sofort \(x_7=0\). Eine Zeile darüber muss man nun bspw. \(x_6=c\) und \(x_5=b\) setzen und dann nach \(x_4\) auflösen. Jetzt geht es ersteinmal ohne weitere Parameter weiter (jeweils durch Einsetzen) bis man am Ende noch die Nullspalte durch \(x_1=a\) berücksichtigen muss.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-09-06 10:10 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo,

2020-09-06 09:29 - MePep in Beitrag No. 4 schreibt:
Zu den Basen: Wir haben gelernt das die Basis des Bildes genau die Pivotspalten darstellen. Die Matrix ist uns nur in dieser Form gegeben, also in Zeilenstufenform. In anderen Aufgaben haben wir dann die Spalten der ursprünglichen Matrix als Basis des Bildes genommen, welche Pivotspalten in der Zeilenstufenform darstellten. Aber eigentlich sollte es ja keinen Unterschied machen, oder?

Die Pivotspalten sind ja linear unabhängig, darauf kommt es an. Wenn du allgemein eine Matrix betrachtest dann kannst du die Spalten nur dann als Basis des Bilds verwenden, wenn die Matrix vollen (Spalten-)Rang hat. Insofern ist die Zeilenstufenform hier nicht die schlechteste Idee.

2020-09-06 09:29 - MePep in Beitrag No. 4 schreibt:
Bei der Basis des Kerns sind wir immer so vorgegangen, das wir für jede nicht eindeutig festgesetzte Unbekannte, eine von diesen auf 1 und den Rest auf 0 gesetzt haben und dann so den Vektor ausgerechnet. Passt das alles so? Könnte man mir vielleicht einen Tipp geben wie einer der Vektoren für die Basis des Kerns damit aussieht? Irgendwie verwirrt mich die Größe dieser Matrix etwas. Nicht festgesetzt sind ja x7, x6 und x5 oder?

Das könntest du schon auch selbst versuchen. Aus der zweituntersten Zeile folgt doch bspw. sofort \(x_7=0\). Eine Zeile darüber muss man nun bspw. \(x_6=c\) und \(x_5=b\) setzen und dann nach \(x_4\) auflösen. Jetzt geht es ersteinmal ohne weitere Parameter weiter (jeweils durch Einsetzen) bis man am Ende noch die Nullspalte durch \(x_1=a\) berücksichtigen muss.


Gruß, Diophant


Ok vielen dank, ich hab mich jetzt mal versucht. Ich habe eine Allgemeine Lösung die abhängig von 3 Variablen ist aufgestellt und am Ende 3 Basisvektoren ausgesucht und hab dann folgendes erhalten:

(Eine) Basis des Kerns = $\Bigg\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$,$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{1}{2} \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ \frac{3}{2} \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \Bigg\}$

Das sollte hinhauen! Dankeschön.

Fürs weitere Verständnis, ich bin noch nicht so wirklich drin mit solchen LGS, und weiß z.B. nicht warum ich jetzt genau x1,x5 und x6 festsetzen darf. Meistens hatte ich immer nur LGS bei denen am Ende eine 0 Zeile war und man dann die letzte Variable auf t gesetzt hat und dann nach oben aufgelöst hat. Hier in diesem Fall habe ich mich komischerweise schwer damit getan. Also zu erkennen und das LGS richtig zu deuten. Im Prinzip schaue ich mir von unten nach oben die Gleichungen an, und sobald etwas fehlt darf ich es als unbestimmt festlegen?

Mfg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

deine Basis ist richtig.

2020-09-06 11:29 - MePep in Beitrag No. 6 schreibt:
Fürs weitere Verständnis, ich bin noch nicht so wirklich drin mit solchen LGS, und weiß z.B. nicht warum ich jetzt genau x1,x5 und x6 festsetzen darf.

\(x_1\) muss hier sein, wegen der Nullspalte. Die anderen Parameter ergeben sich aus der Zeilenstufenform. Du könntest ja bspw. die Spalten durcheinanderwürfeln (dabei die Variablennamen mitnehmen) und dann eine neue ZSF bilden. Dann kämst du entsprechend zu anderen Parametern.

2020-09-06 11:29 - MePep in Beitrag No. 6 schreibt:
Meistens hatte ich immer nur LGS bei denen am Ende eine 0 Zeile war und man dann die letzte Variable auf t gesetzt hat und dann nach oben aufgelöst hat. Hier in diesem Fall habe ich mich komischerweise schwer damit getan. Also zu erkennen und das LGS richtig zu deuten. Im Prinzip schaue ich mir von unten nach oben die Gleichungen an, und sobald etwas fehlt darf ich es als unbestimmt festlegen?

Von dürfen kann keine Rede sein. Man muss das machen, denn das passiert ja immer dann, wenn eine Zeile für eine lineare Gleichung mit mehreren Variablen steht. Dann muss man ja eine der Variablen durch die anderen ausdrücken, und um das sauber von der eigentlichen Gleichung zu trennen, wählt man Parameter (in der Schulmathematik ist das der ewige Streit: manche Lehrer bestehen darauf, die eigentlichen Variablen selbst als Parameter zu verwenden, andere genau auf dem Gegenteil. Vielleicht hast du das auch selbst einmal erlebt?).

Deine Problembeschreibung deutet aber darauf hin, dass du das ganze doch schon recht gut erfasst hast. 🙂


Gruß, Diophant
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