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| Autor |
  Existenz der partiellen Ableitungen auf Teilmenge zeigen |
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WagW
Aktiv 
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 539
 |  Themenstart: 2020-09-05
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Hallo zusammen,
ich bin auf eine recht harmlos aussehende Funktion/Aufgabe gestoßen, die mich aber dann im weiteren Fortgang doch etwas durcheinander gebracht hat. Folgendes:
Sei $M:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=y \text{ und } x\neq 0\}$ und $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ mit
$$
f(x,y)=\begin{cases}
e^x-1, & \text{für } x \in M \\
0, & \text{sonst } \\
\end{cases}
$$
Zeige, dass die partiellen Ableitungen $D
_1f(x,y)$ und $D_2f(x,y)$ in den Punkten $(a,b)$ genau dann existieren, wenn $(a,b)\notin M$.
Mein Ansatz:
1.) "$(a,b)\notin M \implies$ partielle Ableitungen existieren":
Falls $(a,b)=(0,0)$ dann sieht der Differentialquotient folgendermaßen aus:
$$
D_1f(0,0)=\lim\limits_{\underset{x\neq 0}{x\to 0}}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim\limits_{\underset{x\neq 0}{x\to 0}}\frac{0-0}{x-0}=0\\
D_2f(0,0)=\lim\limits_{\underset{y\neq 0}{y\to 0}}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\lim\limits_{\underset{y\neq 0}{y\to 0}}\frac{0-0}{y-0}=0.
$$
Jetzt sei $(a,b)\notin (M \cup \{(0,0)\})$ was $a\neq b$ bzw. $|a-b|:=\delta>0$ zur Folge hat. Wir wissen, dass wenn ein Grenzwert auf einer Umgebung von $a$ existiert, $U_{\frac{\delta}{2}}(a):=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-a|<\frac{\delta}{2}\}\subset B$, dann existiert er auch auf der Obermenge $B$. Diese Tatsache verwenden wir nun, um den Differentialquotienten, ich sag mal, "richtig auswerten zu können". Wir betrachten nur diejenigen $x$ mit $|x-a|<\frac{\delta}{2}$. Dann gilt nämlich niemals $|x-b|<\frac{\delta}{2}$ und daher ist $x=b$ ausgeschlossen. Für diese $x$ folgt also:
$$
D_1f(a,b)=\lim\limits_{\underset{x\neq a}{x\to a}}\frac{f(x,b)-f(a,b)}{x-a}\underset{x\notin M}{=}\lim\limits_{\underset{x\neq a}{x\to a}}\frac{0-0}{x-a}=0.$$
Analog gehen wir für den Differentialquotienten von $y$ vor (also wir sorgen dafür, dass $y\neq a$ immer gilt):
$$
D_2f(a,b)=\lim\limits_{\underset{y\neq b}{y\to b}}\frac{f(a,y)-f(a,b)}{y-b}\underset{a\notin M}{=}\lim\limits_{\underset{y\neq b}{y\to b}}\frac{0-0}{y-b}=0.
$$
Da beide Grenzwerte existieren, existieren sie auch in $\mathbb{R}^2\setminus M$.
2.) "Partielle Ableitungen existieren $\implies (a,b)\notin M$":
Ich zeige dies mithilfe der Kontraposition "$(a,b)\in M \implies$ partielle Ableitungen existieren nicht". Da ja $(a,b)\in M \implies a=b$ gilt, schreibe ich ab jetzt anstatt $(a,b)$ einfach $(a,a)$.
Um zu zeigen, dass $D_1f(a,a)$ nicht existiert, setze ich eine Folge $\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ in $D_1f(x,a)$ ein, mit $x_n\notin M$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Wir definieren: $x_n:=a+\frac{1}{n}$, sodass:
$$
D_1f(a,a)=\lim\limits_{\underset{x_n\neq a}{n\to \infty}}\frac{f(x_n,a)-f(a,a)}{x_n-a}=\lim\limits_{\underset{x_n\neq a}{n\to \infty}}\frac{0-e^a+1}{x_n-a}=\infty.
$$
Um zu zeigen, dass $D_2f(a,a)$ auch nicht existiert, setze ich eine Folge $\left(y_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ in $D_2f(a,y)$ ein, mit $a\notin M$. Wir definieren dazu: $y_n:=a+\frac{1}{n}$, sodass:
$$
D_2f(a,a)=\lim\limits_{\underset{y_n\neq a}{n\to \infty}}\frac{f(a,y_n)-f(a,a)}{y_n-a}=\lim\limits_{\underset{y_n\neq a}{n\to \infty}}\frac{0-e^a+1}{y_n-a}=\infty.
$$
Also können beide partiellen Ableitungen für $(a,a)\in M$ nicht existieren.
Schließlich gilt die Äquivalenz "$D_1f(x,y)$ und $D_2f(x,y)$ existieren in $(a,b)\iff (a,b)\notin M$".
Das wirkt alles so ewig lange. Ist das überhaupt so korrekt bewiesen? Kann man das auch eleganter oder kürzer machen?
viele Grüße
WagW
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4288
Wohnort: Raun
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-06
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Hallo WagW,
für \(Df_1(0,0)\) erhalte ich als Ergebnis \(0\), weil \(f(x,0)=0\) ist für \(x \neq 0\). Zur Schreibweise: Muss das nicht \(D_1f(0,0)\) geschrieben werden? Ansonsten ist alles korrekt. "2.)" würde ich auch so begründen, dass \(f(x,a)\) (\(a\) konstant ungleich Null) als eindimensionale Funktion von \(x\) betrachtet in \(x=a\) nicht stetig ist und deshalb dort auch nicht differenzierbar sein kann.
Viele Grüße,
Stefan
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WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 539
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06
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Hallo Stefan,
Danke fürs drüberschauen, ja bei Deinen beiden Anmerkungen hast Du recht. Ich habs geändert.
Viele Grüße
WagW
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WagW hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
WagW hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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