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Mathematik » Stochastik und Statistik » Limes superior von Mengen
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Universität/Hochschule Limes superior von Mengen
digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-06


In der Wahrscheinlichkeitstheorie oder Mengenlehre ist der Limes Superior definiert als $$\limsup\limits_{n\rightarrow \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m=n}^\infty A_m \, .$$
Kann mir mal jemand erläutern wie ich mir das vorzustellen habe? Ich fang mal an mit einem einfachen Beispiel. Angenommen ich habe nur n=2 Ereignisse $A_1$ und $A_2$, dann ist der Ausdruck $$\bigcap_{n=1}^2\bigcup_{m=n}^2 A_m = \left(A_1 \cup A_2\right) \cap A_2 = A_2$$ und analog für größere $n$. Was ist der Vorteil an dieser umständlichen Definition?

Hat jemand ein Beispiel wo dies relevant ist?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-06


Dein Beispiel trifft den Kern der Definition nicht, weil du nicht unendlich viele Mengen hast.
 
$\limsup_{n \to \infty} A_n$ besteht aus den Elementen $x$, für die es unendlich viele $n$ gibt mit $x \in A_n$.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-06


Ich glaube dir ist nicht bewusst, dass du eine Folge von Menge \(A_1,A_2,A_3,A_4...\) hast.
Die Defintion des lim sups heißt einfach:
\(a\) ist im lim sup genau dann, wenn \(a\) in unendlich vielen \(A_n\) vorkommt.
Dieses Objekt kommt oft in der W'Theorie vor (Borel-Cantelli-Lemma).
Warum gibt man ihm den namen lim sup? Weil es von der Definition ähnlich ist zu der lim sup Definition aus der Analysis.
Es gibt auch den Operator lim inf bei Mengen. Dieses soll "kleiner gleich" dem lim sup sein (d.h. einfach eine Teilmenge). Die Elemente aus dem lim inf kommen nicht nur unendlich oft in der Folge vor, sondern ab einem bestimmten \(n\) immer (d.h. sie liegen in fast allen Mengen \(A_n\)).



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06


Gut, das war schonmal hilfreich und bringt uns auch gleich zum Thema BC Lemma. Sind nun $A_n$ die Ereignisse und $p_n=P(A_n)$ die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten und gilt $$\sum_n p_n <\infty$$ dann gilt $$P\left(\limsup\limits_{n\rightarrow \infty} A_n\right)=0 \, .$$
Wörtlich ausgedrückt heißt die letzte Gleichung dann ja, dass die Wahrscheinlichkeit aller der Ereignisse die unendlich auf Auftreten gleich Null ist, oder? Heißt das jetzt umgekehrt, dass für die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse die nur endlich oft auftreten gilt $$P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n \setminus \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} A_n\right) =1 \, ?$$
Folgt dies aus $$1=P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n \setminus \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} A_n\right) + P\left(\limsup\limits_{n\rightarrow \infty} A_n\right) \, ?$$
Vielleicht wird das aber auch alles klarer, wenn man das Ganze mal in einer Anwendung sieht.

Ist $A_n=|X_n-X|>\epsilon>0$ ein Ereignis wobei $X_n$ und $X$ statistisch unabhängige Zufallsvariablen sind und $n=1,2,3,...$? Auch hab ich wieder Probleme zu interpretieren wofür $\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ eigentlich steht.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-06


Hallo digerdiga,

es gilt \(A_n\subseteq\Omega\). Im Allgemeinen ist nicht davon auszugehen, dass \(\bigcup A_n=\Omega\), also auch nicht \(P(\bigcup A_n)=1\).

Zudem ist \(|X_n-X|\) eine ZV, also eine Funktion \(\Omega\rightarrow\IR\) und kein Ereignis.

Hier mal eine Anwendung:

Du wirfst nacheinander einen "Würfel" mit 1, 2, 3, 4, ... Seiten. Im n-ten Wurf sind die Seiten des Würfels mit 1, ..., n nummeriert. Wie groß ist die W'keit, dass unendlich oft eine 1 geworfen wird?



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06


Das Ereignis ist hier $|X_n-X|>\epsilon$ oder nicht? Muss ja nicht eintreffen.

Zu deinem Beispiel würde ich Folgendes sagen: $A_n$ sind die Ereignisse, dass beim n-ten Wurf eine 1 gewürfelt wird. Es gilt $P(A_n)=1/n$ und damit $\sum_n 1/n=\infty$. Aus dem 2. Teilsatz folgt also, dass $P(\limsup A_n)=1$. Es gibt also unendlich viele 1-Würfe.

Intuitiv würde man das Ergebnis auch erhalten wenn man einfach zählt. Definiert man die statistisch unabhängigen Zufallsvariablen $$X_n=\begin{cases} 1 \qquad \text{falls 1 das Ergebnis des n-seitigen Würfels ist} \\ 0 \qquad \text{andernfalls}\end{cases}$$ dann ist die Anzahl der 1 Würfe nach $N$ Würfen
$$\sum_{n=1}^N X_n \, .$$ Für den Erwartungswert gilt $E(X_n)=E(X_n^2)=1\cdot\frac{1}{n} + 0\cdot \frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}$, d.h. die erwartete Anzahl der 1 Würfe ist $$E\left(\sum_{n=1}^N X_n \right)=\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}$$ mit der Varianz $$Var\left( \sum_{n=1}^N X_n \right) = E\left( \sum_{n,m=1}^N X_nX_m - \sum_{n,m=1}^N \frac{1}{nm} \right) = \dots =\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2} \leq \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \, .$$ Die relative Schwankungsbreite ist damit $\leq \frac{1}{\sqrt{\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}}}$ und somit ist die Anzahl der 1 Würfe divergent im Limes $N\rightarrow \infty$ mit ziemlicher Sicherheit.




Trotzdem würde ich gerne mal das Beispiel $|X_n-X|>\epsilon$ diskutieren, weil ich es nicht ganz verstehe. Siehe auch hier:




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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06


2020-09-06 13:26 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Dein Beispiel trifft den Kern der Definition nicht, weil du nicht unendlich viele Mengen hast.
 
$\limsup_{n \to \infty} A_n$ besteht aus den Elementen $x$, für die es unendlich viele $n$ gibt mit $x \in A_n$.

Wenn das Ereignis $A_n$ lautet: Wurf einer 1 mit dem n-seitigen Würfel, sind dann nicht alle $A_n$ unterschiedlich? In anderen Worten es existiert doch dann kein $x$ welches in unendlich vielen $A_n$ auftaucht?



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StrgAltEntf
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2020-09-06 20:46 - digerdiga in Beitrag No. 6 schreibt:
Wenn das Ereignis $A_n$ lautet: Wurf einer 1 mit dem n-seitigen Würfel, sind dann nicht alle $A_n$ unterschiedlich? In anderen Worten es existiert doch dann kein $x$ welches in unendlich vielen $A_n$ auftaucht?

Der W'raum \(\Omega\) besteht hier aus allen Folgen \((x_1,x_2,...)\), wobei \(x_n\) das Ergebnis im n-ten Wurf ist. Dann ist \(A_n=\{(x_1,x_2,...)\in\Omega:x_n=1\}\). Die Folge \((x_1,x_2,...)\) enthält also mit W'keit 1 unendlich viele Einsen.

Folgendes sollte dir jetzt auch leicht fallen:

Ändert sich die Situation, wenn der Würfel im n-ten Wurf nicht n sondern n² Flächen hat?



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06


2020-09-06 21:00 - StrgAltEntf in Beitrag No. 7 schreibt:
2020-09-06 20:46 - digerdiga in Beitrag No. 6 schreibt:
Wenn das Ereignis $A_n$ lautet: Wurf einer 1 mit dem n-seitigen Würfel, sind dann nicht alle $A_n$ unterschiedlich? In anderen Worten es existiert doch dann kein $x$ welches in unendlich vielen $A_n$ auftaucht?

Der W'raum \(\Omega\) besteht hier aus allen Folgen \((x_1,x_2,...)\), wobei \(x_n\) das Ergebnis im n-ten Wurf ist. Dann ist \(A_n=\{(x_1,x_2,...)\in\Omega:x_n=1\}\). Die Folge \((x_1,x_2,...)\) enthält also mit W'keit 1 unendlich viele Einsen.

Folgendes sollte dir jetzt auch leicht fallen:

Ändert sich die Situation, wenn der Würfel im n-ten Wurf nicht n sondern n² Flächen hat?

Also ist ein Ereignis bei $N$ Würfen immer vollständig durch ein $N$-Tupel anzugeben?

Die neue Aufgabe hört sich nach dem Basler Problem an: sprich konvergente Reihe -> $P(\limsup A_n)=0$. Also ist die Wahrscheinlichkeit $0$, dass ein zufälliges Tupel $(x_1,x_2,...)$ unendlich viele Einsen enthält. (Formulierung korrekt?)

An dieser Stelle ist es vielleicht nochmal ganz gut auf die unterschiedlichen Konvergenzbegriffe zu sprechen zu kommen, denn das Lemma sagt ja fast sichere Konvergenz voraus. In anderen Worten wenn es Tupel $(x_1,x_2,...)$ mit unendlich vielen Einsen gäbe, dann sind diese der Anzahl nach endlich. Umgekehrt würde das ja bei Konvergenz in Wahrscheinlichkeit nicht folgen, oder?

Heißt das bei dem ursprünglichen Problem ($1/n$) dann auch, dass es nur endlich viele Tupel gibt, die nicht unendlich viele Einsen enthalten?

Wo wir gerade dabei sind: Ein WKR besteht aus einer Menge $\Omega$ (die Tupel...?), dem Maß $P$ (den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse) und einer Verknüpfung $\Sigma$ (der Sigma-Algebra). Wie würden bei dem Tupelbeispiel die Verknüpfungen der Elemente aussehen?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-09-07


Hallo digerdiga,

2020-09-06 21:51 - digerdiga in Beitrag No. 8 schreibt:
1) Also ist ein Ereignis bei $N$ Würfen immer vollständig durch ein $N$-Tupel anzugeben?

2) Die neue Aufgabe hört sich nach dem Basler Problem an: sprich konvergente Reihe -> $P(\limsup A_n)=0$. Also ist die Wahrscheinlichkeit $0$, dass ein zufälliges Tupel $(x_1,x_2,...)$ unendlich viele Einsen enthält. (Formulierung korrekt?)

3) An dieser Stelle ist es vielleicht nochmal ganz gut auf die unterschiedlichen Konvergenzbegriffe zu sprechen zu kommen, denn das Lemma sagt ja fast sichere Konvergenz voraus.

4) In anderen Worten wenn es Tupel $(x_1,x_2,...)$ mit unendlich vielen Einsen gäbe, dann sind diese der Anzahl nach endlich. Umgekehrt würde das ja bei Konvergenz in Wahrscheinlichkeit nicht folgen, oder?

5) Heißt das bei dem ursprünglichen Problem ($1/n$) dann auch, dass es nur endlich viele Tupel gibt, die nicht unendlich viele Einsen enthalten?

6) Wo wir gerade dabei sind: Ein WKR besteht aus einer Menge $\Omega$ (die Tupel...?), dem Maß $P$ (den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse) und einer Verknüpfung $\Sigma$ (der Sigma-Algebra).

7) Wie würden bei dem Tupelbeispiel die Verknüpfungen der Elemente aussehen?

1) Ja, so sehe ich das auch. Bzw. bei unendlich vielen Ereignissen durch eine Folge. ("Tupel" ist für mich immer eine endliche Folge.)

2) Das würde ich auch so formulieren.

3) Ich verstehe nicht,was du hier mit Konvergenzbegriffen meinst. Was soll denn hier konvergieren? Die W'keit, dass die Folge \((x_1,x_2,...)\) konvergiert, ist jedenfalls 0.

4) Es gibt selbstverständlich unendlich viele Folgen mit unendlich vielen Einsen. Aber die W'keit, dass solch eine Folge auftritt, ist 0. Das sind unterschiedliche Dinge.

5) Analog zu 4: Nein.

6) Ja, \(\Omega\) besteht aus den möglichen Folgen, die auftreten können. Also \(\Omega=\{(x_1,x_2,...):\forall n>0:1\leq x_n\leq n\}\)

7) Ich verstehe nicht, was du hier meinst. Wieso möchtest du die Folgen verknüpfen?



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digerdiga
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Erstmal zu 3+4+5)
Vielleicht kommen wir jetzt nochmal auf das Beispiel $A_n=|X_n|>\epsilon$ zurück, wobei $X_n$ eine Folge von Zufallsvariablen ist. Gilt nun $$\sum_{n=1}^\infty P(|X_n|>\epsilon) < \infty$$ dann konvergiert die Folge $X_n$ fast sicher gegen Null. Also tritt hier doch der Konvergenzbegriff auf. Die Ereignisse $|X_n|>\epsilon$ hätten doch die Binärgestalt $(x_1,x_2,...,x_n=1,...)$ wobei $x_n=1$ wenn $|X_n|>\epsilon$ und $x_n=0$ wenn $|X_n|<\epsilon$, oder? Wie kommt das fast sicher hier rein?

Fast sicher heißt doch auch es gibt nur endlich viele Gegenbeispiele, oder nicht? Siehe auch die Antwort von Robby McKilliam




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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-09-07


Leider kann ich dir überhaupt nicht folgen. \(A_n\) ist ein Ereignis und keine Zufallsvariable. Es gilt \(P(A_n)=1/n\) bzw. \(P(A_n)=1/n^2\) (bei den Beispielen aus #4 bzw. #7).

Den Mittelteil überspringe ich jetzt mal, da ich es partout nicht nachvollziehen kann. (Was ist denn \(X_n\) und was ist eine Binärgestalt?)

Du schreibst:
"Fast sicher heißt doch auch es gibt nur endlich viele Gegenbeispiele, oder nicht?"

Nö, wieso? Es heißt nur, dass die W'keit der Gegenbeispiele gleich 0 ist.




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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-07


Hast du den Link besucht? Dann verstehst du vielleicht auch was ich mit "endlich oft" meine. Kannst du mich zudem auch mal zitieren wo ich geschrieben habe $A_n$ sei eine Zufallsvariable? Ich habe geschrieben $A_n=|X_n|>\epsilon$ ist ein Ereignis. Das Ereignis bei dem die Zufallsvariable $X_n$ betragsmäßig größer einem vorgegebenen $\epsilon>0$ ist. Nimm z.B. $X_n$ standard-normalverteilt. Wenn nun $|X_n|>\epsilon$ ist, also die Aussage wahr ist, schreibe $x_n=1$ in das Tupel (für wahr) und wenn nicht dann eine $0$ (für nicht wahr). So kommt die Binärdarstellung $(x_1,x_2,...)$ der Ereignisse zustande.

PS: Gerade nochmal über den Text geflogen; ich hoffe er kommt nicht zu forsch rüber. Ist nicht so gemeint.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-09-08


Ich habe jetzt mal den Link besucht. Wie ich es sehe, hat das Beispiel von Robby McKilliam mit unserer Situation nicht viel zu tun, zumindest sehe ich den Zusammenhang nicht. Beim Beispiel im Link handelt es sich um eine Folge \(X_n\) von unabhängigen ZV, die die Werte 0 oder 1 annehmen können. (Das Gerät versagt oder funktioniert.) Weiterhin gelte, dass fast sicher \(X_n\rightarrow1\). Hier kann es tatsächlich nicht passieren, dass \(X_n=1\) unendlich oft eintritt - bzw. die W'keit dafür ist 0.

PS: Bei $A_n=|X_n|>\epsilon$ habe ich dich missinterpretiert und deshalb geschlossen, dass bei dir \(A_n\) eine ZV ist. Du solltest besser schreiben $A_n=\{\omega\in\Omega:|X_n(\omega)|>\epsilon\}$.

PPS: Du schreibst: "Gilt nun $\sum_{n=1}^\infty P(|X_n|>\epsilon) < \infty$, dann konvergiert die Folge $X_n$ fast sicher gegen Null." Folgt nicht eher, dass $X_n$ in W'keit gegen 0 konvergiert?

PPPS: Der Imperativ von nehmen ist nimm 😎



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-08


2020-09-08 21:13 - StrgAltEntf in Beitrag No. 13 schreibt:
Ich habe jetzt mal den Link besucht. Wie ich es sehe, hat das Beispiel von Robby McKilliam mit unserer Situation nicht viel zu tun, zumindest sehe ich den Zusammenhang nicht. Beim Beispiel im Link handelt es sich um eine Folge \(X_n\) von unabhängigen ZV, die die Werte 0 oder 1 annehmen können. (Das Gerät versagt oder funktioniert.) Weiterhin gelte, dass fast sicher \(X_n\rightarrow1\). Hier kann es tatsächlich nicht passieren, dass \(X_n=1\) unendlich oft eintritt - bzw. die W'keit dafür ist 0.
Ähm, ich glaube da hast du was falsch verstanden. Die $X_n$ sind SV für die Stichproben der Lichtgeschwindigkeitsmessung. Er führt den Stichprobenmittelwert als neue SV ein $$S_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$$ der den echten Erwartungswert $\mu$ approximiert. Erst dann kommen die 0-1 Ereignisse ins Spiel via der Bedingung $|S_n-\mu|>\epsilon$. Das ist quasi genauso wie bei mir, nur spielt bei mir $X_n$ die Rolle die bei ihm durch $S_n-\mu$ vertreten wird. Auch bin ich nicht der Meinung, dass a-priori gelte $X_n \rightarrow 1$ fast sicher. Viel mehr ist das eine Folge von Borel-Cantelli wie ich meine, denn die W'Keit, dass $|X_n|>\epsilon$ unendlich oft auftritt ist $0$ (wenn auch ich das Ganze etwas mysteriös finde...).


PS: Bei $A_n=|X_n|>\epsilon$ habe ich dich missinterpretiert und deshalb geschlossen, dass bei dir \(A_n\) eine ZV ist. Du solltest besser schreiben $A_n=\{\omega\in\Omega:|X_n(\omega)|>\epsilon\}$.
Etwas verwirrt was hier $\omega$ sein soll. Welche Elemente des WKR's? Warum trägt $X_n$ ein Argument; das hab ich so noch nicht gesehen.


PPS: Du schreibst: "Gilt nun $\sum_{n=1}^\infty P(|X_n|>\epsilon) < \infty$, dann konvergiert die Folge $X_n$ fast sicher gegen Null." Folgt nicht eher, dass $X_n$ in W'keit gegen 0 konvergiert?
Das ist ja ein wesentlicher Punkt. Ich meine, eben dass aus der Konvergenz der Reihe fast sichere Konvergenz folgt und nicht nur Konvergenz in W'keit.


PPPS: Der Imperativ von nehmen ist nimm 😎
Ja... Das sollte ich wissen ☹️



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-09-09


Momentan nur eine kurze Rückmeldung hierzu:

2020-09-08 21:58 - digerdiga in Beitrag No. 14 schreibt:

PS: Bei $A_n=|X_n|>\epsilon$ habe ich dich missinterpretiert und deshalb geschlossen, dass bei dir \(A_n\) eine ZV ist. Du solltest besser schreiben $A_n=\{\omega\in\Omega:|X_n(\omega)|>\epsilon\}$.
Etwas verwirrt was hier $\omega$ sein soll. Welche Elemente des WKR's? Warum trägt $X_n$ ein Argument; das hab ich so noch nicht gesehen.

Echt nicht? Eine ZV ist doch eine Funktion von \(\Omega\) nach (meistens) \(\IR\). Das findest du in jedem einführenden Stochastiklehrbuch. Was soll eine ZV denn sonst sein?

Grüße
StrgAltEntf



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-12


Was wäre denn $\Omega$ bzw. ein konkretes Element $\omega$ bei dir, wenn $X$ einfach nur standard-normalverteilt ist? $X$ nimmt doch entsprechend der Verteilung einfach nur Werte aus $\mathbb{R}$ an. Dafür benötige ich a-priori erstmal keine Ereignisse eines WKRes.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-09-14


2020-09-12 13:43 - digerdiga in Beitrag No. 16 schreibt:
Was wäre denn $\Omega$ bzw. ein konkretes Element $\omega$ bei dir, wenn $X$ einfach nur standard-normalverteilt ist? $X$ nimmt doch entsprechend der Verteilung einfach nur Werte aus $\mathbb{R}$ an. Dafür benötige ich a-priori erstmal keine Ereignisse eines WKRes.

Du kannst z. B. \(\Omega=\IR\) wählen mit einer geeigneten Verteilung. Aber es gibt da mehrere Möglichkeiten.

Gegenfrage: Was wäre denn bei dir formal ein Ereignis A mit \(|X|<\epsilon\)? (In deiner Schreibweise \(A=|X|<\epsilon\))



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-14


$|X|<\epsilon$ ist das Ereignis $A$ wobei ich davon ausgehe, dass $X$ eine kontinuierliche Zufallsvariable über $\mathbb{R}$ ist (oder eine offene Teilmenge davon die die Null enthält).

Schließlich kann eine Realisierung von $X$ entweder größer oder kleiner $\epsilon$ sein. Also ist eine der Möglichkeiten ein Ereignis.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-09-14


Ich fürchte, wir drehen uns hier im Kreis.

Ein "Ereignis" ist ein Element von \(\Sigma\), wobei \((\Omega,\Sigma,P)\) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist. Und eine ZV ist (hier) eine Funktion von \(\Omega\) nach \(\IR\).



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Vielleicht... Also ich kann zumindest damit leben so etwas zu schreiben wie $X(\mathbb{R})$ oder $X([0,1])$, dann weiß man wenigstens welche Grundmenge gemeint ist. Ist das was du möchtest?



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