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Universität/Hochschule J Additives Inverses gleich multiplikatives Inverses
MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-06


Hallo!

Ich habe folgende zwei Fragen die ich beantworten möchte:

1) Gibt es für jede natürliche Zahl k ein m, sodass das Additive Inverse von k und das Multiplikative Inverse von k in $\mathbb{Z}_{m}$ gleich sind?

2) Zu zeigen gilt: Die Einheiten im Ring $\mathbb{Z}_{m}$ sind genau die Erzeuger der additiven Gruppe von $\mathbb{Z}_{m}$

Zunächst mal zu 1) denn da habe ich die meisten Probleme:

Sei $k \in \mathbb{N}$ und m beliebig. Ich bennene das Inverse von k, welches je für sowohl $(\mathbb{Z}_{m}, +, 0)$ als auch für $(\mathbb{Z}_{m}, \cdot, 1)$ gleich sein soll mal $k^{-1}$

Aus der Aufgabenstellung geht schon mal etwas hervor, da k nämlich multiplikativ invertierbar sein muss, muss k eben eine Einheit von $\mathbb{Z}_{m}$ und somit Teilerfremd zu m sein, das gleiche gilt auch für das inverse Element von k. Also ggT(k, m) = ggT($k^{-1}$, m) = 1. Desweiteren muss ja dann auch noch folgendes gelten:

$k + k^{-1} \equiv$ 0 mod m
$k \cdot k^{-1} \equiv 1$ mod m

Bin ich auf dem richtigen Weg? Oder bringt mir das alles überhaupt nichts? Oder muss ich jetzt nur noch das Kongruenzensystem betrachten? Ic hstehe gerade ein bisschen auf dem Schlauch und wäre sehr dankbar für einen Tipp.

Danke für eure Aufmerksamkeit : ) !



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

anders herum geht es leichter:
Das additive Inverse von $k$ ist $-k$, kann man also leicht bestimmen. Schreibe jetzt auf, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit $-k$ auch das multiplikative Inverse von $k$ ist.
\(\endgroup\)


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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-07


Das additive Inverse von k ist -k. Es muss ja gelten, dass k + (-k) mod m = 0. Also muss k + (-k) = c * m also ein Vielfaches von m ergeben oder nicht (bzw eher genau m)? Irgendwie bin ich gerade noch nicht so sicher wie man beide Bedingungen verbinden soll (oder ob dies überhaupt möglich ist)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Mepep,

wenn ich dein Problem richtig deute, dann geht es letztendlich um die möglichen Lösungen der Gleichung \(k^{-1}=-k\Leftrightarrow k^2=-1\equiv m-1\).

Hilft dir das weiter?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-07


Ich verstehe noch nicht ganz warum man davon ausgehen darf, dass $k^{-1}$ = -k auch vom Wert her mit k übereinstimmt, also wie Sie zu dem Schritt $k^{2} = -1$ kommen. In beliebigen $\mathbb{Z}_{m}$ ist ja das additive Inverse nicht unbedingt gleich vom Wert her oder? z.B. in $\mathbb{Z}_{5}$ ist ja wenn k = 3 das additive Inverse von k, $k^{-1} = 2$ oder? Weil 3 + 2 mod 5 = 0. Die ganze Sache verwirrt mich noch etwas, leider.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-07


2020-09-07 10:12 - MePep in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich verstehe noch nicht ganz warum man davon ausgehen darf, dass $k^{-1}$ = -k auch vom Wert her mit k übereinstimmt, also wie Sie zu dem Schritt $k^{2} = -1$ kommen.
Hier wurden beide Seiten mit -k multipliziert (modulo m).

Für k = 4 kannst du z. B. m = 17 wählen, da 4 + 13 = 0 und 4 * 13 = 1 (modulo 17).



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das widerspricht sich ja nicht. Es geht hier m.M. darum, herauszufinden, für welches m bei gegebem k diese Gleichung überhaupt lösbar ist.

k=2 und m=5 ist ja ein Beispiel, wo es funktioniert. Bei k=3 und m=5 jedoch wiederum nicht.

Eine Voraussetzung ist ja sicherlich die, dass es überhaupt ein multiplikatives Inverses gibt. Das ist genau dann der Fall, wenn \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) ein Körper ist.

Nachtrag: letzteres war über das Ziel herausgeschossen und passt hier nicht. \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) muss also hier kein Körper und somit \(m\) keine Primzahl sein.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
\(\endgroup\)


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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-07


2020-09-07 10:22 - StrgAltEntf in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-09-07 10:12 - MePep in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich verstehe noch nicht ganz warum man davon ausgehen darf, dass $k^{-1}$ = -k auch vom Wert her mit k übereinstimmt, also wie Sie zu dem Schritt $k^{2} = -1$ kommen.
Hier wurden beide Seiten mit -k multipliziert (modulo m).

Für k = 4 kannst du z. B. m = 17 wählen, da 4 + 13 = 0 und 4 * 13 = 1 (modulo 17).

Also so?

$k + (-k) = 0$
$\Leftrightarrow (-k) \cdot k + (-k) \cdot (-k) = 0$
$\Leftrightarrow (-k) \cdot (-k) = -1$

(Sorry das ich so schwer vom Begriff bin, scheint so als hätte ich noch eine Menge zu lernen!)

Jedenfalls, Inverse gibt es ja auch in nicht Körpern, so lange k eine Einheit ist, aber ich vermute da tuen sich eventuell dann noch andere Probleme auf die ich gerade noch nicht nachvollziehen würde. Es gilt also nun für mich, aus

$k^{2} = -1 \equiv m-1$ die Lösung zu deuten richtig? Wie schon erwähnt wurde hat k sicherlich ein mult. Inverses wenn es sich um einen Körper handelt, also dann, wenn m eine Primzahl ist. So weit so... gut? 😵😄



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-09-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo

2020-09-07 10:24 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:

Eine Voraussetzung ist ja sicherlich die, dass es überhaupt ein multiplikatives Inverses gibt. Das ist genau dann der Fall, wenn \(\mathbb{Z}_m\) ein Körper ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

Das stimmt so nicht. Du sollst ja für ein gegebenes $k$ ein $m$ finden, sodass $k^{-1}=-k$ ist. Dazu muss $\mathbb Z_m$ aber kein Körper sein, da ja nicht alle Elemente von $\mathbb Z_m$ Einheiten sein sollen, sondern eben nur $k$.


Nehmen wir nochmal $k=3$, so ist $m=10$ eine Lösung, da $3\cdot (-3)=-9=1
$ in $\mathbb Z_{10}$ gilt. Dass beispielsweise $4$ kein multiplikatives Inverses hat (keine Einheit ist), spielt jedoch keine Rolle.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\(\endgroup\)


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MePep
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Kann man sich vielleicht m immer als $k^{2} +1$ wählen?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-09-07


Ja genau, im Wesentlichen musst du nur nachrechnen, dass $(-k)\cdot k = 1$ in $\mathbb Z/(k^2+1)\mathbb Z$ gilt.



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StrgAltEntf
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2020-09-07 10:56 - MePep in Beitrag No. 9 schreibt:
Kann man sich vielleicht m immer als $k^{2} +1$ wählen?
Oder einen nicht-trivialen Teiler von k² + 1, sodass du m sogar prim wählen kannst.



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