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 Wieso wurden hier die Grenzen verschoben? |
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lil_astronaut
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 |  Themenstart: 2020-09-06
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Heyho,
ich verstehe eine Kleinigkeit einer Lösung nicht, und zwar geht es um eine Integralgrenze die in der Lösung verschoben wurde:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53509_gesammtschaden.PNG
Dabei hatten wir folgende Formel für den Gesamtschaden:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53509_gesamtscaden.PNG
Ich verstehe nicht so ganz, warum bei dem jeweils ersten Integral von links in der Lösung eine 1 und in der formalen Formel bei 0 gestartet wird.
Dürfte ich überhaupt bei 0 starten? Dass macht doch eigentlich gar keinen Sinn, weil doch im darauf folgenden Integral dieser Wert als obere Grenze verwendet wird, oder nicht?
Falls es hilft, dass ist die gesamte Aufgabe:
Seien $(X_n)n\in N$ unabhängige und $Exp(\lambda)$ -verteilte Schadenhöhen für ein $\lambda>0$. Für festes $t>0$ sei die Anzahl $N(t)$ der Schäden bis zum Zeitpunkt unabhängig von$(X_n)n\in N$ und besitze eine verschobene geometrische Verteilung zum Parameter $p\in(0,1)$,d.h. $N(t)$habe die Zähldichte $(p_k)\in N$ mit $p_k=p(1-p)^k-1$.
Nun soll ich die Verteilungsfunktion des Gesamtschadens berechnen, aber in den Lösungen wurde, die man mithilfe der Formel im 2. Bildchen bestimmt.
Es wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte, meinen Denkfehler aufzudecken.
Falls meine Frage unverständlich ist oder Angaben fehlen würde ich mich freuen, wenn ihr mich ggf. darauf hinweisen könntet.
MfG
lil_astronaut
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Kitaktus
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| Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-07
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Die obere Formel ist vermutlich falsch. Den Fall, dass überhaupt kein Schaden eintritt "k=0" (für die Schadenssumme ergibt sich dann die "leere Summe" -- von n=1 bis 0 -- also 0), muss man durchaus mitberücksichtigen.
Weglassen könnte man den Fall nur, wenn x<0 ist oder N(t)=0 mit Wahrscheinlichkeit 0 eintritt.
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lil_astronaut
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-07
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Hey Kitaktus, tut mir leid falls ich was falsch verstanden habe, aber würde sich nicht dann für k=0 immer 0 ergeben und dann würde ich doch eigentlich immer nur eine 0 dazu addieren, die man doch eigentlich immer weglassen dürfte oder sehe ich das falsch.
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lil_astronaut
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-07
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\quoteon(2020-09-07 13:09 - lil_astronaut in Beitrag No. 2)
Hey Kitaktus, tut mir leid falls ich was falsch verstanden habe, aber würde sich nicht dann für k=0 immer 0 ergeben und dann würde ich doch eigentlich immer nur eine 0 dazu addieren, die man doch eigentlich immer weglassen dürfte oder sehe ich das falsch.
\quoteoff
Ergänzung: Tut mir leid, habe zu voreilig geantwortet, ich sehe jetzt auch, dass keine 0 addiert wird, sondern nur die Wahrscheinlichkeit, dass kein Schaden eintritt, addiert wird.
Dann vermute ich auch mal dass die Formel falsch ist, weil ja nirgendwo die Rede davon ist, dass N(t)=0, aber was wäre genau damit geeint, dass x<0?
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Kitaktus
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-07
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In der ersten Gleichung ist ja nicht weiter angegeben, für welche x die Gleichheit eigentlich gelten soll. [Wahrscheinlich / hoffentlich steht das in der Originalquelle mit dabei.] Daher kann ich nicht so ohne Weiteres sagen, dass die Gleichung "falsch" ist
"x<0" wäre ein (eher hypothetischer) Fall, bei dem man den Summanden weglassen könnte. Freilich würde man in dem Fall wohl direkt hinschreiben, dass die Wahrscheinlichkeit 0 ist.
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| lil_astronaut hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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