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Universität/Hochschule Inhomogene Lorentz-Transformation
Riddler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-07


Hallo zusammen,

ich habe eine Verständnisproblem zur Lorentz-Transformation, bei der ich anschließend den Grenzwert $v\rightarrow 0$ betrachten möchte:

Ein Raumschiff startet zum Zeitpunkt $t_0 = 0$ mit der Geschwindigkeit $v>0$ und bewegt sich entlang der $x$-Achse. Wenn sich das Raumschiff im Abstand $R$ zur Erde befindet, wird ein Signal

$$u\colon \left[ \frac{R}{v}, \frac{R}{v} + \tau \right] \rightarrow \mathbb{R}\\
u(t,x) \colon = u_0\cos\left( F\left( t - \frac{R}{v} - \frac{x}{c}\right) \right)$$
der Länge $\tau$ von der Erde aus losgeschickt. $F$ beschreibt dabei eine Frequenzmodulation.
So wie das Signal definiert ist kann man die klassische Lorentz-Transformation

$$x^\prime = \gamma \left( x + vt \right)
\\t^\prime = \gamma \left( t + \frac{vx}{c^2}\right)$$
verwenden um das vom Raumschiff empfangene Signal zu berechnen, oder? Dann erhielte man die Transformation

$$\left( t - \frac{x}{c} \right) \rightarrow  \sqrt{\frac{c-v}{c+v}} \left( t - \frac{x}{c} \right)$$
und erkennt deutlich die Dopplerverschiebung. Nun zu meiner eigentlichen Frage:

Angenommen, das Raumschiff ist nicht zum Zeitpunkt $t=0$ von der Erde aus gestartet, stattdessen weiß ich (woher auch immer...), dass sich das Raumschiff zum Zeitpunkt $t=0$ im Abstand $R$ befindet und  mit der Geschwindigkeit $v\geqslant 0$ bewegt. Wie kann ich nun das empfangene Signal bestimmen?

Im letzteren Fall bewegt sich das Raumschiff möglicherweise gar nicht, also $v=0$. Der Grenzwert $v\rightarrow 0$ existiert im ersten Beispiel so nicht, daher Frage ich mich, wie das Problem nun gelöst wird...

Ist vielleicht der Ansatz

$$u\colon \left[0, \tau \right] \rightarrow \mathbb{R}\\
u(t,x) \colon = u_0\cos\left( F\left( t - \frac{x}{c}\right) \right)$$
mit der Transformation

$$x^\prime = \gamma \left( (x-R) + vt \right)
\\t^\prime = \gamma \left( t + \frac{v(x-R)}{c^2}\right)$$
bereits korrekt? Falls ja, hätte ich noch die ein oder andere Verständnisfrage, die ich mir aber für den Anschluss aufhebe...

Schonmal vielen Dank für eure Hilfe!



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