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Universität/Hochschule J Klein-o-Notation
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-07


In einem Buch habe ich die folgende Aussage:
Die erzeugte Folge $(x^k)$ und $(M_k)$ (wobei $x^k\in \mathbb{R^n}, M_k\in \mathbb{R^{n\times n}}$) gelte $x^k \to \hat{x}$ und $M_k \to F'(\hat{x})$. Dann ergibt sich:
$$\|(M_k -F'(\hat{x}))(x^{k+1} - x^k)\| \leq \|M_k -F'(\hat{x})\|\|x^{k+1}-x^k\| = o(\|x^{k+1} - x^k\|)$$ wobei $\|M_k -F'(\hat{x})\| \to 0$ für $k\to \infty$

Meine Frage bezieht sich auf die Gleichung:
$$\|M_k -F'(\hat{x})\|\|x^{k+1}-x^k\| = o(\|x^{k+1} - x^k\|)$$ Ich würde gerne verstehen, was hier die Definition von der o-Notation ist, dass somit diese Gleichung zustande kommt.
Denn die o-Notation laut Wikipedia hat die folgende Definition:
$$f\in o(g) \Leftrightarrow \lim_{x\to a}\|\frac{f(x)}{g(x)}\|=0$$ Jedoch kann ich diese Defintion auf die genannte Gleichung übertragen. In der Gleichung wird ja nirgends eine $\in$ Relation erwähnt.
Wieso gilt also
$$\|M_k -F'(\hat{x})\|\|x^{k+1}-x^k\| = o(\|x^{k+1} - x^k\|)$$ und wie ist die Definition von der o-Notation in diesem Fall?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-07


$f(x)=o(g(x))$ kannst Du als gleichbedeutend zu $f(x)\in o(g(x))$ ansehen. Analog gilt das auch für die anderen Landausymbole.
Die "$\in$-Schreibweise ist sauberer, viele Autoren schreiben trotzdem gerne "$=$", weil sich das flüssiger liest. Man muss dabei aber immer im Hinterkopf behalten, dass bei solchen "Gleichungen" nicht mehr alle "üblichen Regeln" gelten.



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mbInfoStudent
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-08


Danke für die Antwort.
Dann würde ich basierend auf deine Aussage nochmal versuchen zu verstehen, was die folgende Aussage bedeutet:
$$\|M_k -F'(\hat{x})\|\|x^{k+1}-x^k\| = o(\|x^{k+1} - x^k\|)$$ Basierend auf deine Antwort ist das äquivalent zu:
$$\|M_k -F'(\hat{x})\|\|x^{k+1}-x^k\| \in o(\|x^{k+1} - x^k\|)$$ wäre das äquivalent zu:
$$\lim_{k\to \infty} \frac{\|M_k -F'(\hat{x})\|\|x^{k+1}-x^k\|}{\|x^{k+1} - x^k\|}=0$$ Ist das korrekt?

Eine zweite Frage habe ich auch zu deiner Antwort:
2020-09-07 23:09 - Kitaktus in Beitrag No. 1 schreibt:
Man muss dabei aber immer im Hinterkopf behalten, dass bei solchen "Gleichungen" nicht mehr alle "üblichen Regeln" gelten.


Welche "üblichen Regeln" gelten nicht mehr in diesem Fall?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-08


Ja, das ist so in Ordnung.

Regeln, die nicht mehr gelten:
- Aus $f(x)=o(h(x))$ und $g(x)=o(h(x))$ folgt nicht $f(x)=g(x)$.
- Aus $f(x)=o(g(x))$ und $f(x)=o(h(x))$ folgt nicht $o(g(x))=o(h(x))$.
- Aus $f(x)+o(h(x))=g(x)$ und $g(x)+o(h(x))=f(x)$ folgt nicht $f(x)=g(x)$.
  usw.



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mbInfoStudent
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-10


Hallo, ich hätte noch eine Frage diesbezüglich:
Ich weiß, dass das folgende gilt:
$$\|M_k -F'(\hat{x})\|\|x^{k+1}-x^k\| \in o(\|x^{k+1} - x^k\|)$$ da
$$\lim_{k\to \infty} \frac{\|M_k -F'(\hat{x})\|\|x^{k+1}-x^k\|}{\|x^{k+1} - x^k\|} =\lim_{k\to \infty} \|M_k -F'(\hat{x})\|=0$$ da $M_k \to F'(\hat{x})$.
Da nun wie oben erwähnt auch gilt $x^k \to \hat{x}$, wäre auch nicht folgende Aussage richtig:
$$\|M_k -F'(\hat{x})\|\|x^{k+1}-x^k\| \in o(\|M_k -F'(\hat{x})\|)$$ da

$$\lim_{k\to \infty} \frac{\|M_k -F'(\hat{x})\|\|x^{k+1}-x^k\|}{\|M_k -F'(\hat{x})\|} =\lim_{k\to \infty} \|x^{k+1}-x^k\|=0$$
Ist diese Aussage richtig?



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mbInfoStudent
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-10


Kann jemand bei der Zusatzfrage helfen?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-11


Wie Du selbst gezeigt hast, ist diese Aussage auch richtig.



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