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Universität/Hochschule J Lineare Abbildung aus Untervektorräumen
MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-08


Hallo!

Ich sitze gerade an der folgenden Aussage fest:

"Wenn $V$ ein n-dimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum ist, $U$ ein $\mathbb{R}$-Untervektorraum von V der Dimension m $\leq$ n und W ein $\mathbb{R}$-Untervektorraum der Dimension n-m, dann gibt es eine K-lineare Abbildung $\varphi: V \rightarrow V$ mit U = Kern($\varphi$) und W = Bild($\varphi$)"

Dies bedeutet ich muss anhand von den beiden beliebigen Untervektorräumen Bedingungen an eine lineare Abbildung stellen, so dass:

$\forall u \in U: \varphi(u) = 0$
$\forall w \in W: w$ liegt im Bild der Abbildung

gilt. Ich hab nur leider wirklich keine Ideen wie eine solche Abbildung auszusehen hat. Da z.B. $W$ gleich dem Bild der Abbildung sein soll, hab ich mir z.B. überlegt dass die Abbildung ja den rang n-m besitzen muss. In meinem Kopf schwirren gerade lauter Begriffe rum, Basen, lineare Unabhängigkeit, aber irgendwie schaffe ich es nicht in den Beweis reinzukommen.

Ein paar Hinweise wären sehr nett und sehr geschätzt.

Mit freundlichen Grüßen



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

2020-09-08 11:15 - MePep im Themenstart schreibt:
$\forall w \in W: \varphi(w)$ liegt im Bild der Abbildung
Es muss heißen $w$ liegt im Bild der Abbildung.


Betrachte einen Komplementärraum von $U$ in $V$, also einen Untervektorraum $U'$ mit $V= U\oplus U'$.

Um eine lineare Abbildung $\varphi:V\to V$ zu definieren, genügt es anzugeben, worauf Vektoren aus $U$ bzw. aus $U'$ abgebildet werden sollen.
Für jedes $u\in U$ soll  $\varphi(u)=0$ gelten, da gibt es keine andere Wahl.
Kannst du zeigen, dass es eine lineare Abbildung $U'\to V$ gibt, deren Bild $W$ ist? Überlege dir am besten erstmal welche Dimension $U'$ hat.
\(\endgroup\)


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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-08

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2020-09-08 11:48 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

2020-09-08 11:15 - MePep im Themenstart schreibt:
$\forall w \in W: \varphi(w)$ liegt im Bild der Abbildung
Es muss heißen $w$ liegt im Bild der Abbildung.


Betrachte einen Komplementärraum von $U$ in $V$, also einen Untervektorraum $U'$ mit $V= U\oplus U'$.

Um eine lineare Abbildung $\varphi:V\to V$ zu definieren, genügt es anzugeben, worauf Vektoren aus $U$ bzw. aus $U'$ abgebildet werden sollen.
Für jedes $u\in U$ soll  $\varphi(u)=0$ gelten, da gibt es keine andere Wahl.
Kannst du zeigen, dass es eine lineare Abbildung $U'\to V$ gibt, deren Bild $W$ ist? Überlege dir am besten erstmal welche Dimension $U'$ hat.

Hallo!

Danke für die schnelle Antwort.

$V= U\oplus U'$ habe ich so noch nie gesehen, kannst du das Symbol eventuell kurz erläutern? Wir hatten nur eine einzige mini-Aufgabe, in der es mal um so etwas wie "Komplementärräume" ging. Da wurde ein Vektorraum in zwei Untervektorräume aufgeteilt, wobei der eine Untervektorraum nur Vektoren enthielt, die zu allen anderen Vektoren des anderen Raums orthogonal sind. Hat U' dann die gleiche Dimension wie W?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Die Schreibweise $V=U\oplus U'$ ("direkte Summe") bedeutet, dass $U$ und $U'$ Untervektorräume von $V$ sind, für die $U\cap U' = 0$ (der Nullvektorraum) und $U+U'=V$ gilt.
Das ist übrigens äquivalent dazu, dass es für jeden Vektor $v\in V$ genau ein $u\in U$ und genau ein $u'\in U'$ mit $v=u+u'$ gibt.

Mit Orthogonalität hat das ganze nur indirekt etwas zu tun. Es wundert mich eigentlich, dass ihr über Skalarprodukte thematisiert habt, bevor ihr über Komplementärräume geredet hattet.

Du kannst aber auch alles über Basen formulieren (lineare Abbildungen sind eindeutig festgelegt durch die Bilder einer Basis), vielleicht fällt dir das leichter:
Wähle eine Basis $b_1,\ldots, b_m$ von $U$ und ergänze diese zu einer Basis von $V$.
Wie könntest du dann $\varphi(b_i)$ definieren, so dass die gewünschte Eigenschaften von $\varphi$ erfüllt werden?
\(\endgroup\)


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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-09-08 12:14 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:
Die Schreibweise $V=U\oplus U'$ ("direkte Summe") bedeutet, dass $U$ und $U'$ Untervektorräume von $V$ sind, für die $U\cap U' = 0$ (der Nullvektorraum) und $U+U'=V$ gilt.
Das ist übrigens äquivalent dazu, dass es für jeden Vektor $v\in V$ genau ein $u\in U$ und genau ein $u'\in U'$ mit $v=u+u'$ gibt.

Mit Orthogonalität hat das ganze nur indirekt etwas zu tun. Es wundert mich eigentlich, dass ihr über Skalarprodukte thematisiert habt, bevor ihr über Komplementärräume geredet hattet.

Du kannst aber auch alles über Basen formulieren (lineare Abbildungen sind eindeutig festgelegt durch die Bilder einer Basis), vielleicht fällt dir das leichter:
Wähle eine Basis $b_1,\ldots, b_m$ von $U$ und ergänze diese zu einer Basis von $V$.
Wie könntest du dann $\varphi(b_i)$ definieren, so dass die gewünschte Eigenschaften von $\varphi$ erfüllt werden?

Ok, zuerst: Wenn man solch eine Basis konstruiert, dann sind die ersten m Spalten Vektoren aus U... richtig? Also müsste ja $\varphi(b_{1}) = ... = \varphi(b_{m}) = 0$ sein... richtig?

Für den Extremfall, also m = 0, würde diese Abbildung ja einfach ein beliebiger Isomorphismus (bzw. Automorphismus?) von V nach V sein, da beide Vektorräume Basen gleicher Mächtigkeit besitzen und durch m = 0 folgt, dass nur die 0 auf die 0 abgebildet wird und die Abbildung somit injektiv ist, damit surjektiv also bijektiv.

Edit: Wenn mein erster Gedanke stimmt, dann gilt ja für diese konstruierte Basis auch, wenn ich einen beliebigen Vektor aus V betrachte, dass:

$\varphi(v) = \varphi(k_{1}b_{1} + ... + k_{n}b_{n}) = 0 + 0 + ... + k_{m+1}\varphi(b_{m+1}) + ... +k_{n}\varphi(b_{n})$

Oder ist das alles falsch?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-09-10 16:19 - MePep in Beitrag No. 4 schreibt:
Ok, zuerst: Wenn man solch eine Basis konstruiert, dann sind die ersten m Spalten Vektoren aus U... richtig? Also müsste ja $\varphi(b_{1}) = ... = \varphi(b_{m}) = 0$ sein... richtig?
Ja.

Für den Extremfall, also m = 0, würde diese Abbildung ja einfach ein beliebiger Isomorphismus (bzw. Automorphismus?) von V nach V sein, da beide Vektorräume Basen gleicher Mächtigkeit besitzen und durch m = 0 folgt, dass nur die 0 auf die 0 abgebildet wird und die Abbildung somit injektiv ist, damit surjektiv also bijektiv.
Ja.

Edit: Wenn mein erster Gedanke stimmt, dann gilt ja für diese konstruierte Basis auch, wenn ich einen beliebigen Vektor aus V betrachte, dass:

$\varphi(v) = \varphi(k_{1}b_{1} + ... + k_{n}b_{n}) = 0 + 0 + ... + k_{m+1}\varphi(b_{m+1}) + ... +k_{n}\varphi(b_{n})$

Oder ist das alles falsch?
Alles richtig bis hierhin.👍
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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-11


$V/U$ ist ein Vektorraum der Dimension $n-m$, und $W$ ebenfalls. Also gibt es einen Isomorphismus $V/U \longrightarrow W$. Die Komposition mit der Projektion $V \longrightarrow  V/U$ ist nun eine surjektive lineare Abbildung $V \longrightarrow W$ mit Kern $U$, also letztlich eine lineare Abbildung $V \longrightarrow V$ mit Kern $U$ und Bild $W$.



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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-12


2020-09-11 06:13 - Triceratops in Beitrag No. 6 schreibt:
$V/U$ ist ein Vektorraum der Dimension $n-m$, und $W$ ebenfalls. Also gibt es einen Isomorphismus $V/U \longrightarrow W$. Die Komposition mit der Projektion $V \longrightarrow  V/U$ ist nun eine surjektive lineare Abbildung $V \longrightarrow W$ mit Kern $U$, also letztlich eine lineare Abbildung $V \longrightarrow V$ mit Kern $U$ und Bild $W$.

Ich weiß leider nicht, was $V/U$ als Schreibweise bedeutet. Kannst du mir da auf die Sprünge hlfen?



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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-09-10 22:10 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-09-10 16:19 - MePep in Beitrag No. 4 schreibt:
Ok, zuerst: Wenn man solch eine Basis konstruiert, dann sind die ersten m Spalten Vektoren aus U... richtig? Also müsste ja $\varphi(b_{1}) = ... = \varphi(b_{m}) = 0$ sein... richtig?
Ja.

Für den Extremfall, also m = 0, würde diese Abbildung ja einfach ein beliebiger Isomorphismus (bzw. Automorphismus?) von V nach V sein, da beide Vektorräume Basen gleicher Mächtigkeit besitzen und durch m = 0 folgt, dass nur die 0 auf die 0 abgebildet wird und die Abbildung somit injektiv ist, damit surjektiv also bijektiv.
Ja.

Edit: Wenn mein erster Gedanke stimmt, dann gilt ja für diese konstruierte Basis auch, wenn ich einen beliebigen Vektor aus V betrachte, dass:

$\varphi(v) = \varphi(k_{1}b_{1} + ... + k_{n}b_{n}) = 0 + 0 + ... + k_{m+1}\varphi(b_{m+1}) + ... +k_{n}\varphi(b_{n})$

Oder ist das alles falsch?
Alles richtig bis hierhin.👍

Könnte die Abbildung dann nicht so aussehen, dass sie m 0-Spalten hat und die letzten Spalten eine Basis des Bildes sind?
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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-09-12


$V/U$ ist der Quotientenvektorraum.
 
Aber wenn ihr den noch nicht hattet, musst du anders vorgehen.



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Nuramon
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2020-09-12 13:51 - MePep in Beitrag No. 8 schreibt:
Könnte die Abbildung dann nicht so aussehen, dass sie m 0-Spalten hat und die letzten Spalten eine Basis des Bildes sind?
Du meinst eine Darstellungsmatrix der Abbildung, nicht die Abbildung selbst. Aber ja, das ist die richtige Idee.



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MePep hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
MePep hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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