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Integration » Integration im IR^n » Integralsatz von Gauß / Kegelparametrisierung
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Universität/Hochschule J Integralsatz von Gauß / Kegelparametrisierung
Pwin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-09


Hallo, ich habe ein Verständnisproblem bei der folgenden Aufgabe:

fed-Code einblenden

Danke für Antworten!



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sonnenschein96
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 136
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-09


Hallo Pwin,

zunächst einmal musst in der Transformationsformel der Betrag der Determinante stehen.

Die Schreibweise mit \([0,z]\) macht tatsächlich keinen Sinn. Die offene Menge \(D\) ist hier gegeben durch \(\{(z,\theta,r)\in\mathbb{R}^3\,|\,0<z<1,0<\theta<2\pi,0<r<z\}\). Dies lässt sich nicht als kartesisches Produkt schreiben.

Die Mengen \(\varphi(D)\) und \(K\) sind zwar nicht gleich, unterscheiden sich aber nur durch eine \(\lambda^3\)-Nullmenge und damit sind die Integrale über \(\varphi(D)\) und \(K\) gleich.

Damit ist
\[\int_Kf\,d\lambda^3=\int_{\varphi(D)}f\,d\lambda^3=\int_D(f\circ\varphi)|\det D\varphi|\,d\lambda^3=\int_{(0,1)\times(0,2\pi)\times(0,1)}\chi_D(f\circ\varphi)|\det D\varphi|\,d\lambda^3.\]
Nach dem Satz von Fubini ist dies gleich
\[\int_{(0,1)}\int_{(0,2\pi)}\int_{(0,1)}\chi_D(2z+2)r\,dr\,d\theta\,dz = \int_{(0,1)}\int_{(0,2\pi)}\int_{(0,z)}(2z+2)r\,dr\,d\theta\,dz.\]
Für feste \(z\in(0,1)\) und \(\theta\in(0,2\pi)\) ist nämlich \(\chi_D(z,\theta,r)=1\) genau dann, wenn \(r\in(0,z)\) ist und sonst \(0\).

Lange Rede kurzer Sinn: Deine Rechnung stimmt, die Begründung muss mittels der charakteristischen Funktion \(\chi_D\) erfolgen.



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Pwin
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Dabei seit: 31.12.2018
Mitteilungen: 21
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-09


Ah ok macht jetzt total Sinn, vielen Dank!



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Pwin hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Pwin hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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