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Analysis » Funktionalanalysis » Operatornorm Ausdruck
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Universität/Hochschule Operatornorm Ausdruck
Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-10


Wir haben in der Vorlesung folgendermaßen die Operatornorm definiert:

\[ ||T|| = \sup_{x\in X,x \neq 0}\frac{||Tx||_Y}{||x||_X} \]
Und dann sollten wir unter Voraussetzung, dass $T\in \mathcal{L}(X,Y)$ wobei $X,Y$ normierte Räume sind, folgende Äquivalenz zeigen:

\[\sup_{x\in X,x \neq 0}\frac{||Tx||_Y}{||x||_X} = \sup_{x\in X,
||x||_X=1}||Tx||_Y = \sup_{x\in X,
||x||_X\leq1}||Tx||_Y\]
Jetzt war meine Frage, ob ich denn diese Voraussetzung von $T\in \mathcal{L}(X,Y)$ hier überhaupt brauche ? Die Äquivalenzen gelten ja auch so(also nur Linearität vorauszusetzen) oder ?

Wenn ich also zeigen will, dass ein Operator stetig ist, würde es auch ausreichen für einen der Ausdrücke zu zeigen, dass dieser nicht unendlich sind.

Ich weiß, dass dieser Ausdruck nur dann eine Norm darstellt, wenn $T\in \mathcal{L}(X,Y)$.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-11


Hey Pter87,

ja, die drei Ausdrücke sind für lineare Operatoren immer gleich. Wenn  \(T\) nicht stetig ist, sind die Ausdrücke halt alle gleich \(+ \infty\)



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