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Analysis » Funktionen » Formulierung Definition Verkettungsdarstellung korrekt?
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Universität/Hochschule Formulierung Definition Verkettungsdarstellung korrekt?
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-12


Hallo,

ist meine Definition unten eindeutig, sprachlich und mathematisch korrekt und verständlich? Wie kann sie verbessert werden?

Vielen vielen Dank.

Definition:
Eine Funktion $f$, die ausgehend von ihrem Funktionsargument durch endlich-ofte Anwendung von Funktionen $f_1,...,f_n$ erzeugt wird, heißt endliche Verkettung von Funktionen $f_1,...,f_n$ oder auch endliche Verkettung.
Der Funktionsterm der Funktion $f$, der auf diese Weise erzeugt wird, heißt Verkettungsdarstellung von $f$ oder auch Verkettungsdarstellung.
Die einzelnen Funktionen, durch die die Verkettungsdarstellung von $f$ auf diese Weise aufgebaut wird, heißen Glieder der Verkettungsdarstellung von $f$ oder Komponenten der Verkettungsdarstellung von $f$.



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Hallo IVmath,

die Wortschöpfung "endlich-ofte" tut mir in den Augen weh.

"Endlichmalige Anwendung" klingt besser.

Was mit "erzeugen" genau gemeint ist, ist nicht zu erkennen.

Das Wort "Verkettung" hat eine gebräuchliche Bedeutung, siehe Komposition_(Mathematik).
Wie du aus den Funktionen $f_1,...,f_n$ die Funktion \(f\) gewinnst -- insbesondere, ob das mit der gewöhnlichen Verkettung zu tun hat --, bleibt vollständig unklar.

mfg
thureduehrsen
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
> die Wortschöpfung "endlich-ofte" tut mir in den Augen weh.
> "Endlichmalige Anwendung" klingt besser.
Bei mir ist es genau andersherum. Aber Google scheint Deinem Geschmack recht zu geben. Danke.

> Das Wort "Verkettung" hat eine gebräuchliche Bedeutung
Deshalb definiere ich "endliche Verkettung".
Soll ich stattdessen besser "endliche verallgemeinerte Verkettung" (die ein- oder mehrmalige "Verkettung" von ein- und mehrstelligen Funktionen) definieren?

> Wie du aus den Funktionen $f_1,...,f_n$ die Funktion \(f\) gewinnst -- insbesondere, ob das mit der gewöhnlichen Verkettung zu tun hat --, bleibt vollständig unklar.
Ist nicht klar, was mit endlichmaliger Anwendung von Funktionen gemeint ist?

> Was mit "erzeugen" genau gemeint ist, ist nicht zu erkennen.
Ja, das sehe ich auch so. Wie aber kann ich knapp und allgemein formulieren, dass zu jeder verallgemeinerten Verkettung ein entsprechender Funktionsterm gehört.
Beispiel: $(f \circ (g,h))(z)=f(g(z),h(z))$

\(\endgroup\)


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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
2020-09-12 22:39 - IVmath in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-09-12 22:09 - thureduehrsen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo IVmath,

die Wortschöpfung "endlich-ofte" tut mir in den Augen weh.

"Endlichmalige Anwendung" klingt besser.

Bei mir ist es genau andersherum. Aber Google scheint Deinem Geschmack recht zu geben. Danke.

Was mit "erzeugen" genau gemeint ist, ist nicht zu erkennen.

Ja, das sehe ich auch so. Wie aber kann ich knapp und allgemein formulieren, dass zu jeder verallgemeinerten Verkettung ein entsprechender Funktionsterm gehört.
Beispiel: $(f \circ (g,h))(z)=f(g(z),h(z))$

Von wo nach wo gehen die Funktionen? Und welche anschaulische Vorstellung willst du überhaupt modellieren?

Das Wort "Verkettung" hat eine gebräuchliche Bedeutung, siehe Komposition_(Mathematik).
Wie du aus den Funktionen $f_1,...,f_n$ die Funktion \(f\) gewinnst -- insbesondere, ob das mit der gewöhnlichen Verkettung zu tun hat --, bleibt vollständig unklar.

Deshalb definiere ich "endliche Verkettung".
Soll ich stattdessen besser "endliche verallgemeinerte Verkettung" (die ein- oder mehrmalige "Verkettung" von ein- und mehrstelligen Funktionen) definieren?

Versuche das doch mal. Das scheint ja ungefähr das zu sein, was du mit dem Term \((f \circ (g,h))(z)=f(g(z),h(z))\) ausdrückst.

mfg
thureduehrsen
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13


Funktionsgleichung: $f(x)=x^2$
$x^2$ ist der Funktionsterm. Was ist $f(x)$? Ist $f(x)$ auch ein Funktionsterm?

Wie sieht es hiermit aus?

Definition:
a) Eine endliche verallgemeinerte Verkettung von Funktionen $f_1,...,f_n$ ist eine Funktion, die ausgehend von ihrem Funktionsargument durch endlichmalige Anwendung von Funktionen $f_1,...,f_n$ erzeugt wird.
b) Eine Verkettungsdarstellung ist ein Funktionsterm, der ausgehend von einer Funktionsvariablen durch endlich- oder unendlichmalige Anwendung von Funktionstermen erzeugt wird.
c) Sei $V_1$ eine Verkettungsdarstellung. Ein Glied der Verkettungsdarstellung $V_1$ / eine Komponente der Verkettungsdarstellung $V_1$ ist ein Unterterm von $V_1$.
d) Sei $V_2$ eine endliche verallgemeinerte Verkettung. Ein Glied der endlichen verallgemeinerten Verkettung $V_2$ / eine Komponente der endlichen verallgemeinerten Verkettung $V_2$ ist eine Funktion, deren Funktionsterm ein Unterterm der zu $V_2$ gehörigen Verkettungsdarstellung ist.

Für a) dürfte meine Definition ausreichen, denn da bin ich in guter Gesellschaft:
Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans. Amer. Math. Soc. 27 (1925) (1) 68-90: "The elementary functions are understood here to be those which are obtained in a finite number of steps by performing algebraic operations and taking exponentials and logarithms."
Hier braucht man sich nur zu überlegen, was es heißt, eine Funktion anzuwenden.

Und für b) braucht man keine Termalgebra bemühen.
Hier braucht man sich nur zu überlegen, was es heißt, einen Funktionsterm anzuwenden.



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
2020-09-13 21:29 - IVmath in Beitrag No. 4 schreibt:
Wie sieht es hiermit aus?

Definition:
a) Eine endliche verallgemeinerte Verkettung von Funktionen $f_1,...,f_n$ ist eine Funktion, die ausgehend von ihrem Funktionsargument durch endlichmalige Anwendung von Funktionen $f_1,...,f_n$ erzeugt wird

Also beispielsweise\[F=f_3\circ f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_3\circ f_5\circ f_1\]oder wie?

Das ist mir zu viel Raterei.

Hier braucht man sich nur zu überlegen, was es heißt, eine Funktion anzuwenden.

Und für b) braucht man keine Termalgebra bemühen.
Hier braucht man sich nur zu überlegen, was es heißt, einen Funktionsterm anzuwenden.

Was ist bei dir der Unterschied zwischen "Anwenden einer Funktion" und "Anwenden eines Funktionsterms"? Kann man Letzteres überhaupt? Wenn ja, wie und worauf wird ein Funktionsterm angewendet?

Benutze doch die Terminologie im Artikel Termalgebra, damit wir eine Chance haben, über ein und dieselbe Sache zu reden.

mfg
thureduehrsen
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Erstmal ohne Termalgebra.
(Satz und Beweis sollten später, wenn möglich, auch für Nichtmathematiker verständlich sein. Ich selbst bin auch kein Mathematiker und habe erst jetzt von Termalgebra gelesen.)

2020-09-13 21:45 - thureduehrsen in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-09-13 21:29 - IVmath in Beitrag No. 4 schreibt:
Definition:
a) Eine endliche verallgemeinerte Verkettung von Funktionen $f_1,...,f_n$ ist eine Funktion, die ausgehend von ihrem Funktionsargument durch endlichmalige Anwendung von Funktionen $f_1,...,f_n$ erzeugt wird
Also beispielsweise\[F=f_3\circ f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_3\circ f_5\circ f_1\]oder wie?
Das ist mir zu viel Raterei.
Ja, jede Funktion, die sich durch das in der Definition beschriebene Konstruktionsverfahren ergibt. Z. B. auch leere Funktionen.
Endlichmalig kann auch nullmalig sein. Und die Funktionen $f_1,...,f_n$ können auch mehrstellige Funktionen sein.
Das hat nichts mit Raterei zu tun. Eine Funktion kann bei dieser Konstruktionsmethode nur angewendet werden auf die Funktionsvariable oder auf Funktionswerte bzw. Bildmengen vorher angewendeter Funktionen.
Die elementaren Funktionen nach Liouville und Ritt werden üblicherweise so definiert und die Liouvilleschen Funktionen. Ich erweitere diese Funktionenklassen nur, indem ich auch andere Funktionen $f_1,...,f_n$ zulasse.

2020-09-13 21:45 - thureduehrsen in Beitrag No. 5 schreibt:
Was ist bei dir der Unterschied zwischen "Anwenden einer Funktion" und "Anwenden eines Funktionsterms"? Kann man Letzteres überhaupt? Wenn ja, wie und worauf wird ein Funktionsterm angewendet?
Funktionsschreibweise und Funktionstermschreibweise/Funktionswertschreibweise sind zwei verschiedene Bilder/Beschreibungen für dieselbe Funktion.
Ein Funktionsterm kann bei dieser Konstruktionsmethode nur angewendet werden auf Funktionsterme.

2020-09-13 21:45 - thureduehrsen in Beitrag No. 5 schreibt:
Benutze doch die Terminologie im Artikel Termalgebra, damit wir eine Chance haben, über ein und dieselbe Sache zu reden.
Da muss ich mich erst einlesen. Noch sehe ich keinen zusätzlichen Gewinn für die Definitionen.
\(\endgroup\)


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tobit09
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-14


Hallo IVmath!

Auch ich versuche mal zu erraten, wie deine Definition gemeint sein könnte.

Zunächst einmal sollten wir (wie schon von thureduehrsen angemerkt) klären, von wo nach wo die Funktionen abbilden sollen.

Vorschlag: Wir haben eine Grundmenge $M$, z.B. $M=\mathbb{R}$ und interessieren uns für Funktionen $f\colon M^n\to M^m$ für natürliche Zahlen $n,m\in\mathbb{N}_0$.

Nun nennen wir Tripel $(n,m,f)$ mit $n,m\in\mathbb{N}_0$ und $f\colon M^n\to M^m$ Funktionstripel (über $M$).

Sei $\mathcal{F}$ eine Menge von Funktionstripeln über $M$.
Dann definieren wir die Menge der von $\mathcal{F}$ erzeugten Funktionstripel als die kleinste Menge $\mathcal{E}$ von Funktionstripeln über $M$ mit folgenden Eigenschaften:

1. Es gilt $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{E}$.
2. Für jedes $n\in\mathbb{N}$ und jedes $i\in\{1,2,\ldots,n\}$ gilt $(n,1,\pi_i^n)\in\mathcal{E}$ mit $\pi_i^n\colon M^n\to M,(x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_i$. (Hier und im Folgenden identifiziere ich $M^1$ und $M$ in naheliegender Weise miteinander.)
3. Für jedes $n,m\in\mathbb{N}_0$ und alle $((n,1,f_1),\ldots,(n,1,f_m))\in\mathcal{E}$ ist auch $(n,m,f)\in\mathcal{E}$ mit $f\colon M^n\to M^m,x\mapsto (f_1(x),\ldots,f_m(x))$.
4. Für alle $n,m,k\in\mathbb{N}_0$ und alle $(n,m,f),(m,k,g)\in\mathcal{E}$ ist auch $(n,k,g\circ f)\in\mathcal{E}$.

Trifft das deine Vorstellung?

Selbst wenn nicht: Vielleicht hast du nun eine Vorstellung, was eine präzise Definition leisten sollte. Eine solche präzise Definition erübrigt Spekulationen, was du meinen könntest. Außerdem braucht man eine solche Präzisierung, um damit vernünftig in Beweisen arbeiten zu können.

Viele Grüße
Tobias



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IVmath
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2020-09-14 01:23 - tobit09 in Beitrag No. 7 schreibt:
Auch ich versuche mal zu erraten, wie deine Definition gemeint sein könnte.
...

Ich denke mal, ich brauche nur den Teil a) der Definition oben. Und den kann ich lassen, er ist eindeutig, wie die Definition der Elementaren Funktionen und der Liouvilleschen Funktionen in der Differentialalgebra zeigen.
Mein Untersuchungsgegenstand sind aber die endlichen verallgemeinerten Verkettungen von Funktionen, die in die Menge $M$ abbilden.
Ich werde wohl nicht die Funktionswertschreibweise brauchen, es wird die Funktionsschreibweise genügen. Ist klar, was darin ein Term ist? Dann bräuchte ich das nicht erst definieren.

Ich werde es mal mit Termalgebra versuchen, das dauert aber ein bisschen. Deine Konstruktion sieht sehr nach Termalgebra aus.



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Wir wollen null-, ein- und/oder mehrstellige Funktionen null-, ein- oder mehrfach "verketten". Um die Konstruktionsmethode zu verstehen, braucht man doch nur zu berücksichtigen, dass Funktionen nur auf ihre Argumente angewendet werden können - die Definitions- und Wertebereiche der beteiligten Funktionen müssen zusammenpassen, damit das Resultat eine Funktion ist.

Wie ich in Teil b) der Definition oben bereits versucht habe zu schreiben, erzeugt jede Konstruktion einer endlichen verallgemeinerten Verkettung von Funktionen auf eindeutige Art und Weise genau einen Term. (Denn die endlichen verallgemeinerten Verkettungen von Funktionen $f_1,...,f_n$ erzeugen (Sagt man so?) eine Termalgebra $T_{\{f_1,...,f_n\}}(X)$.

Sollte ich anstelle von "Verkettung" vielleicht besser von "Verknüpfung" sprechen?



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