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Analysis » Integration » Integral mit Parameter in Integralgrenze und Integrand
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Universität/Hochschule J Integral mit Parameter in Integralgrenze und Integrand
Musikant88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-13


Guten Morgen,

folgende Frage ist ohne weitere Details vermutlich nicht näher zu beantworten, aber es geht mir eher ums Allgemeine.

Also ich habe ein Integral
$$ \int_0^a f(x,a)\, dx,
$$ d.h. in der oberen Grenze des Integrals und im Integranden taucht der gleiche Parameter $a$ auf. Und nun wüsste ich gerne, wie man vorgehen kann, um zu zeigen, dass
$$ \lim_{a\to\infty}\int_0^a f(x,a)\, dx
$$ konvergiert.

Dazu habe ich grundsätzlich zwei Fragen:

(1) Würde es genügen zu zeigen, dass das Integral
$$ \int_0^\infty f(x,a)\, dx
$$ für jedes $a$ konvergiert? Also bezieht sich der Limes $a\to\infty$ nur auf "das äußere $a$"?

(2) Vorausgesetzt, man hätte dies, und zusätzlich noch, dass der Integrand für $a\to\infty$ konvergiert, sprich $\lim_{a\to\infty}f(x,a)=:f(x,\infty)$ existiert, könnte man dann schreiben
$$ \int_0^\infty f(x,\infty)\, dx?
$$


Ich weiß, ist sicher schwer zu beantworten ohne konkreter zu sein, was der Integrand ist usw., aber es ist eher eine allgemeine Frage bzgl. des Problems, dass der Parameter zwei Mal auftaucht.


Viele Grüße!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

könntest du einmal ein Beispiel geben?

Wenn das wirklich so ist wie beschrieben, dann geht es um eine von den Variablen \(x\) und \(a\) abhängige Funktion, die nach \(x\) integriert wird. Wenn dann \(a\) wiederum als Schranke vorkommt und gegen \(\infty\) gehen soll, bezieht sich das selbstverständlich auf alle Vorkommen von \(a\). Also auf den Integrand und die Schranke gleichermaßen.

2020-09-13 11:00 - Musikant88 im Themenstart schreibt:
(2) Vorausgesetzt, man hätte dies, und zusätzlich noch, dass der Integrand für $a\to\infty$ konvergiert, sprich $\lim_{a\to\infty}f(x,a)=:f(x,\infty)$ existiert, könnte man dann schreiben
$$ \int_0^\infty f(x,\infty)\, dx?
$$

Das würde man für gewöhnlich nicht so schreiben, sondern als Grenzwert. Bei den Integrationsgrenzen sieht man das Unendlich-Symbol schon manchmal, aber sicher nicht als Funktions-Argument.


Gruß, Diophant

[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integration' von Diophant]
\(\endgroup\)


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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-13


Ich habe mir noch keine Gedanken gemacht ob deine Bedingung (1) hinreichend (also "genügend") ist, notwendig ist sie jedenfalls nicht, wie das einfache Beispiel $f(x,a)=\frac{1}{a}$ zeigt. Hier ist
$$\int_0^a f(x,a)\, dx=1$$ und damit auch der Grenzwert, aber
$$\int_0^\infty f(x,a)\, dx$$ existiert für kein $a$.



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Musikant88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13


Hallo!

Ich habe kein konkretes Beispiel.
Aber ich kann mal folgendes widergeben, das ich mündlich als Tipp bekommen habe:

Sei das $a$ in der Integralgrenze mit $a_1$ bezeichnet und das im Integranden mit $a_2$. Angenommen, für jedes $a_2$ konvergiert $a_1$. Da der Integrand für $a_2\to\infty$ konvergiert, ist die Konvergenz sogar gleichmäßig.


Ich verstehe nicht wirklich, was das bedeuten soll.





[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-09-13 11:14 - Musikant88 in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich habe kein konkretes Beispiel.

Vielleicht wenigstens einen Kontext?

2020-09-13 11:14 - Musikant88 in Beitrag No. 3 schreibt:
Aber ich kann mal folgendes widergeben, das ich mündlich als Tipp bekommen habe:

Sei das $a$ in der Integralgrenze mit $a_1$ bezeichnet und das im Integranden mit $a_2$. Angenommen, für jedes $a_2$ konvergiert $a_1$. Da der Integrand für $a_2\to\infty$ konvergiert, ist die Konvergenz sogar gleichmäßig.

Gut, aber dann hält man Grenze und Argument auseinander und damit sind es unterschiedliche Variable bzw. Parameter.

Mir erschließt sich ehrlich gesagt der Sinn der Frage so ohne einen Zusammenhang nicht wirklich.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Musikant88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13


Hallo,

aber kann man nicht erstmal die beiden Parameter trennen und die Konvergenz zeigen und dann, FALLS gleichmäßige Konvergenz vorliegt, schließen, dass die Konvergenz auch für $a_1=a_2$ gilt?

Ich rate eher als dass ich es weiß...


Wie man allerdings aus der glm. Konvergenz schließt, dass die Konvergenz auch für $a_1=a_2$ gilt, ist mir noch nicht klar.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-13


Hallo,

einmal andersherum gefragt: wie kommt hier überhaupt der Begriff gleichmäßige Konvergenz ins Spiel? Der hat ja mit normaler Integralrechnung nichts zu tun und fällt auch nicht einfach so vom Himmel. Sondern er legt einen bestimmten Kontext nahe. Und es wäre an dir, diesen Kontext möglichst genau zu beschreiben.

Irgendetwas hat das hier offensichtlich mit Funktionenfolgen zu tun, aber mit Raten allein kommen wir hier sicherlich nicht weiter.


Gruß, Diophant



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Musikant88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13


Hallo,

der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz kommt jetzt einfach daher, dass ich rechtfertigen möchte, dass man zunächst $a$ in zwei verschiedene Parameter $a_1$ und $a_2$ abändert und am Ende das gewünschte Resultat für $a_1=a_2$ bekommt.

Das habe ich mir jetzt ungefähr so gedacht:

1. Schritt:

Zeige, dass für fixiertes $a_2$ der Grenzwert
$$ \lim_{a_1\to\infty}\int_0^{a_1}f(x,a_2)\, dx=\int_0^\infty f(x,a_2)\, dx
$$ existiert.

2. Schritt:

Zeige, dass die Konvergenz gleichmäßig ist, d.h. für jedes $\varepsilon >0$ existiert ein $x_0\in [0,\infty)$ so, dass
$$ \left\lvert\int_y^\infty f(x,a_2)\, dx\right\rvert < \varepsilon
$$ für alle $a_2$ und $x_0\leq y<\infty$.

Da dies dann für alle $a_2$ gilt, gilt es insbesondere auch für $a_2=a_1$,
und das wiederum verstehe ich so, dass also
$$ \lim_{a_1\to\infty}\int_0^{a_1}f(x,a_1)\, dx = \int_0^\infty f(x,\infty)\, dx
$$  
existiert.


Natürlich benötigt man weitere Voraussetzungen an den Integranden um die Schritte 1 und 2 zu zeigen.

Aber wäre dies (unter den richtigen Voraussetzungen) eine mögliche Herangehensweise, um die Konvergenz des Integrals
$$ \lim_{a\to\infty}\int_0^a f(x,a)\, dx
$$ zu zeigen?




Sorry für diesen vagen Kontext, ich finde es selbst nicht schön.

Viele Grüße!



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-09-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

also ich verstehe dein Problem damit nach wie vor nicht. Deine Frage im Themenstart ist auch ziemlich missverständlich formuliert:

2020-09-13 11:00 - Musikant88 im Themenstart schreibt:
...Und nun wüsste ich gerne, wie man vorgehen kann, um zu zeigen, dass
$$ \lim_{a\to\infty}\int_0^a f(x,a)\, dx
$$ konvergiert.

Warum sollte es das denn überhaupt? Was ich damit sagen möchte: es kann doch nur darum gehen, zu zeigen, dass das Integral einen Grenzwert besitzt falls dem wirklich so ist.

Und da komme ich immer wieder auf die gleichen Ausgangsfragen zurück:

- Wieso nicht einfach nachrechnen?
- Wie kommst du zu dieser Fragestellung bzw. zu der Idee, dass sich hier irgendwelche über die Integration und die Grenzwertbetrachtung hinausreichenden Schwierigkeiten ergeben könnten?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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