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Mathematik » Stochastik und Statistik » Lack-of-Fit Tests von Jeffrey D. Hart
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Universität/Hochschule Lack-of-Fit Tests von Jeffrey D. Hart
Wladonus
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-14


Moin,

für mein Seminar bearbeite ich derzeit ein Teilausschnitt des Kapitel 8 "Data-Driven Lack-of-Fit Tests for General Parametric Models" aus dem Buch "Nonparametric Smoothing and Lack-of-Fit Tests" von Jeffrey D. Hart aus dem Jahr 1997.

Ich habe gerade große Schwierigkeiten den Beweis von Theorem 8.3 aus dem Abschnitt 8.2.2 "Basis Functions Not Orthogonal to Linear Model" nachzuvollziehen. Genauer gesagt heißt es dort:
\(Z_{jn} =  \dfrac{\sqrt{2n}\hat{b}_j}{\sigma}\),
wobei \(\hat{b}_j = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n e_i \cos(\pi jx_i)\) für \(1\leq j <n\) und \(e_i = Y_i - \hat{\theta}_0 - \hat{\theta}_1r_1(x_i)\) für \(i = 1, \dots , n\) ist, kann umgeschrieben werden zu
\(Z_{jn} = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n w_{ijn}\epsilon_i\) für \(j = 1,\dots , n\), wobei
\(w_{ijn} = \dfrac{1}{\sigma} \Bigl( \sqrt{2}\cos(\pi jx_i)- \dfrac{(r(x_i) - \bar{r}_n) b_{jn}}{V_n} \Bigr)\qquad i =1, \dots, n,\),
\(b_{jn} = \sqrt{2} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n r(x_k) \cos (\pi j x_k)\),
\(V_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( r(x_i) -\bar{r}_n)^2\qquad \text{ und } \qquad\bar{r}_n = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n r(x_i)\).

Leider stehe ich hier komplett auf dem Schlauch. Wenn ich \(\hat{b}_j\) und anschließend \(e_i\) in \(Z_{jn} \) einsetze, sehe ich nicht wo ich weiter machen kann.
Falls jemand Ideen oder Ansätze hat, würde ich mich über diese sehr freuen. Vielen Dank im Vorraus.

Gruß Wladonus
 



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