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Lineare Algebra » Determinanten » Determinante von Abbildung zwischen Endomorphismen
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Universität/Hochschule Determinante von Abbildung zwischen Endomorphismen
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-14


Guten Abend zusammen!

Ich versuche mich gerade an folgender Aufgabe:

Sei K ein Körper und sei $V = K^n$ für ein $n\in \mathbb{N} \backslash \{0\}$. Sei $g \in End(V)$. Definiere $\psi: End(V) \to End(V)$ durch $f \mapsto g \circ f$. Dann gilt
$det(\psi) = (det(g))^n$.

(i) Dies ist für den Fall n = 3 zu zeigen.
(ii) Lässt sich die Argumentation auch auf beliebige $n \in \mathbb{N} \backslash \{0\}$ übertragen?

- - - - - - - - - -

Zunächst einmal möchte ich Aufgabenteil i) bearbeiten. Hierbei scheitere ich jedoch daran, dass ich nicht weiß, wie man $det(\psi)$ und $(det(g))^3$ bildet. In unserem Skript war die Determinante nur für eine Matrix definiert. Mir ist bewusst, dass lineare Abbildungen bezüglich fixierten Basen einer eindeutigen darstellenden Matrix zugeordnet werden und umgekehrt.
Wie wäre die Herangehensweise in diesem Falle? Vielleicht $\psi$ und $g$ bzgl. der Standardbasen zu betrachten?


Ich wäre euch für jede Hilfe sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion


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Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-14


Ich schlage vor, Aufgabenteil (i) wegzulassen. Das sieht nach einer Rechnung aus, die keine Einsichten bringt. Es ist besser, gleich den allgemeinen Fall, also (ii) zu betrachten.

Es ist durchaus möglich, hier alles mit Matrizen zu machen (also man wählt eine Basis von $V$, stellt $g$ diesbezüglich dar, stellt dann $\psi$ diesbezüglich dar, usw.). Aber das würde wiederum in Rechnungen ausarten. Für $n=3$ hätte man etwa eine $9 \times 9$-Matrix für $\psi$ (die allerdings einfach aus drei $3 \times 3$-Blöcken besteht).

Es ist möglich, Determinanten ganz ohne Matrizen einzuführen und auszurechnen. Wie das geht, wird hier erklärt:

article.php?sid=1697

Das Beispiel taucht dort auch auf. Es ist demnach besser, einen allgemeineren Fall zu betrachten:

Sei $g \in End(V)$ und $W$ beliebig. Dann erhalten wir die lineare Abbildung $g^W_* : Hom(W,V) \to Hom(W,V), \, f \mapsto g \circ f$.

(Die Aufgabe handelt vom Spezialfall $W=V$, der aber nicht wirklich einfacher ist.)

Überlege dir nun:

1) Wenn $\dim(W)=1$, identifiziert sich $g^W_*$ einfach mit $g : V \to V$, sodass $\det(g_*) = \det(g)$.

2) Wenn $W = W_1 \oplus W_2$ (direkte Summe), so identifiziert sich $g^W_*$ mit der direkten Summe von $g^{W_1}_* : Hom(W_1,V) \to Hom(W_1,V)$ und $g^{W_2}_* : Hom(W_2,V) \to Hom(W_2,V)$. Folgere $\det(g^W_*) = \det(g^{W_1}_*) \cdot \det(g^{W_2}_*)$.

Nun muss man nur noch 1) und 2) kombinieren und hat den allgemeinen Fall: Für $\dim(W)=n$ ist $W$ eine direkte Summe von $n$ eindimensionalen Räumen, und es folgt $\det(g^W_*) = \det(g)^n$.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-15


Hi Triceratops und vielen Dank dir für deine Antwort und das Verlinken des Beitrags, welchen ich als höchst interessant erachte, da er einen anderen Zugang zu Determinanten besitzt und demzufolge von dem ganzen "Matrizengetue" etwas wegkommt. Im Beitrag vom Laplace'schen Entwicklungssatz, wo du ja auch kommentiert hast, hast du ja auch geschrieben, dass es einen Beweis ohne Matrizenschreibweise gibt.


Ich habe zunächst einmal zwei Fragen:


1) Wenn $\dim(W)=1$, identifiziert sich $g^W_*$ einfach mit $g : V \to V$, sodass $\det(g_*) = \det(g)$.

Könntest du hier vielleicht erläutern, wieso sich in diesem Falle $g^W_*$ mit g identifiziert?



2) Wenn $W = W_1 \oplus W_2$ (direkte Summe), so identifiziert sich $g^W_*$ mit der direkten Summe von $g^{W_1}_* : Hom(W_1,V) \to Hom(W_1,V)$ und $g^{W_2}_* : Hom(W_2,V) \to Hom(W_2,V)$. Folgere $\det(g^W_*) = \det(g^{W_1}_*) \cdot \det(g^{W_2}_*)$.

Könntest du eventuell auch hier erklären, wieso sich $g^W_*$ mit der direkten Summe aus $g^{W_1}_* : Hom(W_1,V) \to Hom(W_1,V)$ und $g^{W_2}_* : Hom(W_2,V) \to Hom(W_2,V)$ identifiziert?


Viele Grüße,
X3nion


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-15


Fangen wir mit 1) an. Ist dir klar, dass $V \cong Hom(K,V)$ gilt? (Also auch $V \cong Hom(W,V)$ wenn $\dim(W)=1$.)

Male dir dann ein Diagramm hin:

<math>\begin{tikzcd}
V \ar{r}{g} \ar{d}[swap]{\cong} & V \ar{d}{\cong} \\ Hom(K,V) \ar{r}[swap]{g^K_*} & Hom(K,V)
\end{tikzcd}</math>

Dieses Diagramm kommutiert. In diesem Sinne identifiziert sich $g$ mit $g^K_*$.

PS: Vielleicht ist dieser Beweis, so elegant er auch sein mag, nichts für Leute, die gerade das erste mal mit Determinanten in Berührung kommen.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-15


Guten Abend Triceratops, ich danke dir für deinen Beitrag!


PS: Vielleicht ist dieser Beweis, so elegant er auch sein mag, nichts für Leute, die gerade das erste mal mit Determinanten in Berührung kommen.
Doch das passt, denn es ist nicht das erste Mal, dass ich damit in Berührung komme und mich interessiert es ungemein!



Fangen wir mit 1) an. Ist dir klar, dass $V \cong Hom(K,V)$ gilt? (Also auch $V \cong Hom(W,V)$ wenn $\dim(W)=1$.)

Ja, das ist mir klar.


Male dir dann ein Diagramm hin:
<math>\begin{tikzcd}
V \ar{r}{g} \ar{d}[swap]{\cong} & V \ar{d}{\cong} \\ Hom(K,V) \ar{r}[swap]{g^K_*} & Hom(K,V)
\end{tikzcd}</math>

Im Prinzip ist das ja Lemma 2 aus dem Beitrag?
Und in unserem Falle gilt dann deshalb $det(g) = det(g*)$?


Lemma 2 (Natürlichkeit der Determinante). Es seien <math>\alpha : V \to W</math> ein Isomorphismus von endlich-dimensionalen Vektorräumen und <math>f : V \to V</math>, <math>g : W \to W</math> Endomorphismen mit <math>g \circ \alpha = \alpha \circ f</math>, wie in dem folgenden kommutativen Diagramm:

<math>\begin{tikzcd}V \ar{r}{f} \ar{d}[swap]{\alpha} & V \ar{d}{\alpha} \\ W \ar{r}{g} & W \end{tikzcd}</math>
Dann gilt <math>\det(f)=\det(g)</math>.


Im 1. Fall hat das kommutative Diagramm ja die Form $\cong \circ \; g \; = \; g_{*}^{K} \circ \cong$, wobei $\cong$ die jeweiligen Isomorphismen zwischen V und $Hom(K,V)$ bezeichnet.
Im zweiten Fall ist ja $g_{*}^{W}: Hom(W,V) \to Hom(W,V)$ bzw. $g_{*}^{W}: Hom(W_1 \oplus W_2,V) \to Hom(W_1 \oplus W_2,V)$
Wie würde das kommutative Diagramm im 2. Fall aussehen? In obigem Fall hat man ja reine Verkettungen $\cong \circ \; g \; = \; g_{*}^{K} \circ \cong$, aber in diesem Falle hätte man ja im kommutativen Diagramm eine direkte Summe?

Viele Grüße,
X3nion



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17


Könntest du, Triceratops, oder ein anderer vielleicht über meine Fragen drüberschauen?

Viele Grüße,
X3nion


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-17


Zur ersten Frage: Ja, genau.

Zur zweiten Frage:

<math>\begin{tikzcd}[column sep = 5em]
Hom(W_1,V) \oplus Hom(W_2,V) \ar{d}[swap]{\cong} \ar{r}{g^{W_1}_* \oplus g^{W_2}_*} & Hom(W_1,V) \oplus Hom(W_2,V) \ar{d}{\cong} \\
Hom(W_1 \oplus W_2,V) \ar{r}{g^{W_1 \oplus W_2}_*}   & Hom(W_1 \oplus W_2,V)
\end{tikzcd}</math>

Man benutzt hier außerdem die Rechenregel $\det(f \oplus f') = \det(f) \cdot \det(f')$ (Satz 5 im Artikel).



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-18


Hallo Triceratops,

Danke dir! Stimmt, dann geht das Ganze auf!

Bliebe nur noch zu zeigen, dass die Zuordnung $\cong$ tatsächlich ein Isomorphismus ist.
Ich dachte da an so etwas:
Es gibt in unserem Skript ein Theorem, das besagt: Seien $V$ und $W$ K-Vektorräume der Dimension n bzw. m über F. Die Zuordnung
\[
Hom(V,W) \ni f \mapsto A \in F^{m \times n}
\] ist ein Isomorphismus.

In unserem Fall hätten wir ja dann einerseits mit $dim V = m$, $dim W = n$, $dim(W_1) = k$, $dim(W_2) = l$ und dem Zusammenhang $W = W_1 \oplus W_2$ bzw. $n = dim(W) = dim(W_1) + dim(W_2) = k+l$ Folgendes:
\[Hom(W_1 \oplus W_2, V) \ni f \cong A \in F^{m \times (k+l)}
\]
Wenn man zeigen könnte, dass ein beliebiges Element $Hom(W_1,V) \oplus Hom(W_2,V)$ isomorph ist zu einem Element von $F^{m \times (k+l)}$, dann wäre man fertig.
Es ist ja
$Hom(W_1,V) \ni f \cong A \in F^{m \times k}$ und $Hom(W_2,V) \ni f \cong A \in F^{m \times l}$.
Aber wieso ist $A + B \in F^{m \times (k+l)}$, wobei $A \in F^{m \times k}$ und $B \in F^{m \times l}$?


Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-09-18


Mit linearen Abbildungen geht es viel direkter und einfacher.

Beachte auch, dass es fast unmöglich ist, die Kommutativitität der Diagramme zu zeigen, wenn du Basen wählst, um die Isomorphismen zu konstruieren.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-18


Okay dann versuche ich das mal.
Ich versuche mir zunächst den Zusammenhang klar zu machen.

Sei $b \in \left[ Hom(W_1, V) \oplus Hom(W_2, V) \right]$.
Dann ist $b  = (f,g)$ für $f \in Hom(W_1, V)$ und $g \in Hom(W_2, V)$.
Also sind f,g linear und es gilt
$f: W_1 \to V$, $x \mapsto f(x)$
$g: W_2 \to V$, $x \mapsto g(x)$

$h \in Hom(W_1 \oplus W_2, V)$ bedeutet, dass h linear ist und
$h: W_1 \oplus W_2 \to V$, $(i,j) \mapsto h(i,j)$.
Wie sieht h überhaupt aus?

Wären meine Gedankengänge bisher so korrekt?
Sei nun $k: Hom(W_1, V) \oplus Hom(W_2, V) \to Hom(W_1 \oplus W_2, V)$, $x \mapsto k(x)$. Zunächst einmal müsste man ja prüfen, ob k wohldefiniert ist und ob k linear ist?

Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-09-18


Du hast bisher nicht wirklich etwas konkret getan. Die Aussage "Es gilt $x \mapsto f(x)$" ist auch keine Aussage.

Hast du dir schon die Definition von $W_1 \oplus W_2$ angesehen? Was bedeutet denn die Linearität noch einmal? Wie könnte muss man aus einer linearen Abbildung $W_1 \oplus W_2 \to V$ eine lineare Abbildung $W_1 \to V$ gewinnen?

Der Isomorphismus ist ein Fall für "Beweise, die sich automatisch hinschreiben" (Artikel).




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X3nion
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Hallo Triceratops,

also die direkte Summe zweier Unterräume $W_1, W_2$ eines Vektorraumes W besagt ja, dass $W = W_1 + W_2$ und $W_1 \cap W_2 = \{0\}$. Dann schreibt man $W = W_1 \oplus W_2$.

Die Linearität für eine Abbildung $f: V \to W$ zwischen zwei K-Vektorräumen V,W bedeutet, dass $f(a+b) = f(a) + f(b)$ für alle $a,b \in V$ und $f(\lambda \; v) = \lambda f(v)$ für alle $v \in V$ und $\lambda \in K$ gilt.

Aus einer linearen Abbildung $h \in Hom(W_1 \oplus W_2, V)$ gewinnt man eine lineare Abbildung von $W_1 \to V$ durch die Einschränkung $h|_{W_1}$, denn es gilt $h|_{W_1} \in Hom(W_1, V)$. Entsprechend ist $h|_{W_2} \in Hom(W_2, V)$. Hat man also eine Abbildung $g \in Hom(W_1 \oplus W_2, V)$ gegeben, so liefert die Abbildung $\overline{h}: Hom(W_1 \oplus W_2, V) \to Hom(W_1, V) \oplus Hom(W_2, V)$, $g \mapsto g|_{W_1} + g|_{W_2}$
eine Abbildung eines Elementes des Vektorraumes $Hom(W_1 \oplus W_2, V)$ in den Vektorraum $Hom(W_1, V) \oplus Hom(W_2, V)$.

Ich scheitere nun aber an der Definition von
$h: Hom(W_1, V) \oplus Hom(W_2, V) \to Hom(W_1 \oplus W_2, V)$

Hier wüsste ich aber nicht: wie definiert man $h$?


Viele Grüße,
X3nion


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-09-20


Hier ist $Hom(W_1,V) \oplus Hom(W_2,V)$ zunächst einmal nicht als interne direkte Summe zu verstehen (deren Definition du wiederholst), sondern als externe direkte Summe. Es wäre vielleicht besser, direkt mit dem direkten Produkt $Hom(W_1,V) \times Hom(W_2,V)$ zu arbeiten. Es gibt auch allgemeiner einen Isomorphismus $Hom(\bigoplus_{i \in I} W_i,V) \cong \prod_{i \in I} Hom(W_i,V)$.

Die Abbildung $Hom(W_1 \oplus W_2,V) \to Hom(W_1,V) \times Hom(W_2,V)$ ist entsprechend $f \mapsto (f|_{W_1},f|_{W_2})$.

Zur Umkehrung: Man hat zwei lineare Abbildungen $f_1 : W_1 \to V$, $f_2 : W_2 \to V$. Wir suchen eine lineare Abbildung $f : W_1 \oplus W_2 \to V$ mit $f|_{W_1} = f_1$ Und $f|_{W_2} = f_2$. Jedes Element von $W_1 \oplus W_2$ hat die Form $w_1 + w_2$ mit $w_1 \in W_1$, $w_2 \in W_2$. Was ist nun das einzige, was wir mit $w_1$ und $w_2$ und den gegebenen Daten (also $f_1,f_2$) tun können?



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Ahh okay, ja das war mir nicht klar, dass in diesem Falle mit der direkten Summe die äußere Direkte Summe (welche wir noch nicht definiert hatten) gemeint war und diese im endlichen Falle mit dem kartesischen Produkt vereinbar ist.


Zur Umkehrung: Man hat zwei lineare Abbildungen $f_1 : W_1 \to V$, $f_2 : W_2 \to V$. Wir suchen eine lineare Abbildung $f : W_1 \oplus W_2 \to V$ mit $f|_{W_1} = f_1$ Und $f|_{W_2} = f_2$. Jedes Element von $W_1 \oplus W_2$ hat die Form $w_1 + w_2$ mit $w_1 \in W_1$, $w_2 \in W_2$. Was ist nun das einzige, was wir mit $w_1$ und $w_2$ und den gegebenen Daten (also $f_1,f_2$) tun können?

Hmm eventuell $f: W_1 \oplus W_2 \to V$, $w_1 + w_2 \mapsto f_1(w_1) + f_2(w_2)$ ?
Dann wäre ja $f = f_1 + f_2$ mit $f_1 = f|_{W_1}$ und $f_2 = f|_{W_2}$ und wir hätten $f(w_1 + w_2) = f|_{W_1}(w_1 + w_2) + f|_{W_2}(w_1 + w_2) = f_1(w_1) + f_2(w_2)$
und somit wäre die Abbildung $Hom(W_1,V) \times Hom(W_2,V) \to Hom(W_1 \oplus W_2,V)$ dann $(f_1, f_2) \mapsto f_1 + f_2$ ?

Viele Grüße,
X3nion


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