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Universität/Hochschule J Links/Rechtsnebenklassen Verständnis
MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-15


Hallo!

Ich betrachte gerade die Gruppe $S_{3}$ :

Unter anderem versuche ich gerade nachzuvollziehen, was Links bzw Rechtsnebenklassen sind, bzw wie ich diese zu verstehen habe.

Dabei habe ich mir das Element $s_{3}$, also eine Spiegelung herausgenommen und eine Untergruppe U definiert, welche von $s_{3}$ erzeugt wird mit $U := \{e, s_{3}\}$

Ich habe gelesen, dass die Links/Rechtsnebenklassen Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation (auf U?) sind. Diese haben z.B. die Form $Ug = \{ug|u \in U\}$ wobei g ein Element aus einer Gruppe G und U eine Untergruppe von G ist.

Im allgemeinen ist mir aber vieles noch nicht klar an dieser Definition:

-Betrachte ich diese Nebenklassen bezüglich G oder U? bzw. betrachtet man solche Nebenklassen nur im zusammenhang mit Untergruppen oder auch einer Gruppe G selbst?

-Wie würde denn so eine Klasse aussehen, als Beispiel mit den Elementen aus $S_{3}$?

-Ein Normalteiler hat wohl die Eigenschaft, dass die Linksnebenklassen = Rechtsnebenklassen sind. Bedeutet das Kommutativität?

Mein größtes Problem gerade ist, die Definition genau zu verstehen. Wenn ich alle Nebenklassen haben möchte, muss ich dann für jedes Element aus G die Rechts und Linksnebenklasse mit allen Elementen aus U bilden? Sind das dann die Nebenklassen von G oder U? Wäre nett wenn mich jemand aus dieser verwirrung befreit 😐😵



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-15


2020-09-15 16:42 - MePep im Themenstart schreibt:
-Betrachte ich diese Nebenklassen bezüglich G oder U? bzw. betrachtet man solche Nebenklassen nur im zusammenhang mit Untergruppen oder auch einer Gruppe G selbst?

Es ist eine Nebenklasse bzgl. $U$ in $G$. Natürlich könntest du die Untergruppe $U = G$ wählen, aber das ist nicht sonderlich spannend, denn jede Nebenklasse von $G$ in $G$ ist $G$ selbst (Übung!).

2020-09-15 16:42 - MePep im Themenstart schreibt:
-Wie würde denn so eine Klasse aussehen, als Beispiel mit den Elementen aus $S_{3}$?

Vielleicht ist folgendes Beispiel noch etwas einleuchtender: Wähle die Gruppe $G = (\mathbb{Z}, +)$ und die Untergruppe $U = n \mathbb{Z}$ für ein $n \in \mathbb{Z}$. Eine (Links-)Nebenklasse hat die Form $$k + U = k + n \mathbb{Z} = \{k + n \ell : \ell \in \mathbb{Z} \}, \quad k \in \mathbb{Z}.$$ Sie besteht also aus allen ganzen Zahlen, die Rest $k$ bei Division durch $n$ lassen (also die Zahlen kongruent $k$ modulo $n$).

2020-09-15 16:42 - MePep im Themenstart schreibt:
-Ein Normalteiler hat wohl die Eigenschaft, dass die Linksnebenklassen = Rechtsnebenklassen sind. Bedeutet das Kommutativität?

Mir ist die Frage nicht klar. Ja, eine Charakterisierung von Normalteilern ist, dass Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen.

2020-09-15 16:42 - MePep im Themenstart schreibt:
Mein größtes Problem gerade ist, die Definition genau zu verstehen. Wenn ich alle Nebenklassen haben möchte, muss ich dann für jedes Element aus G die Rechts und Linksnebenklasse mit allen Elementen aus U bilden? Sind das dann die Nebenklassen von G oder U? Wäre nett wenn mich jemand aus dieser verwirrung befreit 😐😵

Kannst du natürlich machen, aber viele Nebenklassen würden gleich sein. Überlege es dir mal an dem obigen Beispiel zu $\mathbb{Z}$, das ich genannt habe.


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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-15


Vielen Dank :)

Das viele Nebenklassen gleich sind liegt daran, dass es sich sobald (betrachtet man mal nur die positiven Zahlen ab 0) k = n ist wiederholt, wegen der modulo Rechnung, oder?

Und das mit der Kommutativität meinte ich so: jeder Normalteiler ist Kommutativ bezüglich der betrachteten Operation.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-15


Ja, gut. :-)

2020-09-15 17:07 - MePep in Beitrag No. 2 schreibt:
Und das mit der Kommutativität meinte ich so: jeder Normalteiler ist Kommutativ bezüglich der betrachteten Operation.

Das ergibt in dieser Form immer noch keinen Sinn (außer man bastelt ein bisschen herum). Denn was ist eigentlich eine Operation? Eine Operation ist eine Funktion, in deinem Fall etwas wie $G \times \mathcal{P}(G) \to \mathcal{P}(G)$, wobei $\mathcal{P}(-)$ der Potenzmengenoperator ist. Was soll Kommutativität also bedeuten? Man kann die Einträge links schwer vertauschen, die Mengen lassen das nicht zu.

Aber ja, es gilt $gN = Ng$.


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