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Strukturen und Algebra » Ringe » "freier" Ring
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Universität/Hochschule J "freier" Ring
geq0
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-16 09:03


Hallo an alle,

ich suche nach dem Namen einer algebraischen Struktur, und bin leider nicht fündig geworden...

Angenommen ich habe eine nichtleere Menge,
\[X:=\{0,1,A_1,A_2,A_3,\dots\},\] und ich möchte aus dieser Menge einen Ring "erzeugen", d.h. ich betrachte die Menge als Alphabet und bilde "formale Summen" von "Wörtern".
Genauer, die Multiplikation soll die Verkettung sein (nicht kommutativ!) und die Addition ist die Bildung von (kommutativen) formalen Summen. Dabei gibt es zwei "ausgezeichnete" Elemente 0,1, die das machen, was man erwarten würde... Außerdem fordere ich das Distributivgesetz. Somit hätte ich meiner Meinung nach einen Ring aus einer Menge gebildet, ähnlich wie man die freie Gruppe, oder den freien Modul aus einer Menge bildet. (Beim Modul benötigt man natürlich einen Zugrunde liegenden Ring)
Nun frage ich mich aber, wie das Ding heißt. Ich denke die multiplikative Struktur ist ein Monoid, und ich hatte schon den Verdacht, diese Struktur sei eine Algebra, aber meine Nachforschungen haben ergeben, dass eine Algebra soetwas ist, wie ein nichtkommutativer Polynomring ÜBER einem Ring, und bei meinem Beispiel liegt ja kein Ring zugrunde.

Nachdem alles in der Algebra einen Namen hat, hat dieses Ding sicher auch einen. LG :)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-16 09:27


Du hast im Titel bereits den richtigen Namen gewählt. Das Teil existiert und nennt sich freier Ring (auf einer Menge). Du musst dabei nicht einmal die Konstanten $0,1$ vorgeben, und die Menge muss auch nicht abzählbar sein. Also: starte mit einer beliebigen Menge $X$.

Der freie kommutative Ring auf $X$ wäre einfach der Polynomring $\IZ[X]$; hiermit ist nicht der Polynomring in einer Variablen $X$ gemeint, sondern der Polynomring in der Variablenmenge $X$. Die universelle Eigenschaft des Polynomringes, die den Namen "freier kommutativer Ring" rechtfertigt, besagt, dass für jeden kommutativen Ring $R$ sich jede Abbildung $X \to R$ eindeutig zu einem Ringhomomorphismus $\IZ[X] \to R$ fortsetzen lässt.
 
Weil du eine Frage zu den Koeffizienten hattest: Die ganzen Zahlen lassen sich ja in jedem Ring definieren, mehr aber auch nicht. Genauer gesagt gibt es für jeden Ring $R$ genau einen Ringhomomorphismus $\IZ \to R$. Das ist auch einfach die zuvor genannte universelle Eigenschaft für den Spezialfall $X = \emptyset$ (und den kommutativen Ring $Z(R)$). Damit wird jeder Ring zu einer $\IZ$-Algebra.

Wenn man nun beliebige Ringe betrachtet (die also nicht unbedingt kommutativ sind), muss man nicht-kommutative Polynome betrachten. Ich skizziere das hier nur, denn die Details findest du in diesem Artikel.

Am einfachsten konstruiert man den Ring der nicht-kommutativen Polynome $\IZ \langle X \rangle$ als Monoidring $\IZ[M]$, wobei $M$ das freie Monoid auf der Menge $X$ ist, welches du sicherlich bereits kennst. Man konstruiert $M$ über die Menge $\coprod_{n \geq 0} X^n$, wobei $X^n$ hier als die Menge der Wörter der Länge $n$ betrachtet wird, und die Multiplikation ist durch $X^n \times X^m \cong X^{n+m}$, $((x_1,\dotsc,x_n),(y_1,\dotsc,y_m)) \mapsto (x_1,\dotsc,x_n,y_1,\dotsc,y_m)$ induziert. Zum Beispiel ist $xy-yx \in \IZ\langle \{x,y\} \rangle$, und dieses Element ist $\neq 0$ im Vergleich zum Polynomring $\IZ[\{x,y\}]$. Die universelle Eigenschaft von $\IZ\langle X \rangle$ lautet: Für jeden Ring $R$ setzt sich jede Abbildung $X \to R$ eindeutig zu einem Ringhomomorphismus $\IZ\langle X \rangle \to R$ fort. Deswegen ist $\IZ\langle X \rangle$ der freie Ring auf $X$.
 
Übrigens kann man freie Strukturen in einem sehr allgemeinen Rahmen konstruieren. Für jeden Typ einer algebraischen Struktur kann man freie algebraische Strukturen auf jeder Menge konstruieren (freie Gruppen, freie Moduln, freie Bimoduln, freie Ringe, freie Liealgebren, freie Verbände, freie $*$-Algebren, usw.). Die Konstruktion wird im Rahmen der universellen Algebra erklärt. Die Theorie kann auch noch weiter verallgemeinert werden im Rahmen der Kategorientheorie, genauer gesagt mit Sätzen über adjungierte Funktoren: Jeder stetige Funktor, der eine gewisse mengentheoretische Forderung erfüllt (die in der Praxis so gut wie immer gilt), hat einen linksadjungierten Funktor. Über Adjunktionen gab es auch hier einen Artikel.



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geq0
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16 10:45


Vielen Dank, ich glaube das hat mir die Augen geöffnet. Erstens wusste ich nicht, dass es den Begriff freier Ring gibt, ich hatte danach gesucht (google) aber keine brauchbaren Treffer erhalten.
Die ganzen Zahlen (als Ring) zugrunde legen ist natürlich genau die Lösung!
Die Elemente 0 und 1 kenne ich in meinem Fall.

Ich will nun Identitäten (z.b. \(A_1\cdot A_2=1\) oder \(A_3\cdot A_4=A_5\) und weitere) einführen. Dies würde ich mithilfe eines zweiseitigen Ideals machen. Danach faktorisiere ich nach diesem Ideal und sollte wieder einen Ring erhalten.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-16 14:23


Ja, das geht natürlich (analog auch bei anderen algebraischen Strukturen).

Zum Recherchieren: Immer Englisch verwenden. "free ring" math liefert einige gute Ergebnisse.



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geq0
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16 14:51


Nochmals vielen Dank!



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geq0 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
geq0 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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