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Universität/Hochschule J Vektorraum - Dimension und Anzahl der Elemente
MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-16 15:11


Hallo,

Ich habe 3 sehr kurze Fragen:

1) Sei V ein 4-Dimensionaler $\mathbb{F}_{5}$-Vektorraum. Welche Dimension hat:
- ... ein echter Untervektorraum von V mit maximaler Dimension?
- ... ein Untervektorraum von V mit minimaler Dimension?

2) Wie viele Elemente hat $\mathbb{F}_{3}^{4}$ ?

3) (Gehört jetzt nicht direkt zur linearen Algebra aber zur Aufgabe) Wie viele Elemente hat $\mathbb{Z}/75\mathbb{Z}$ ?


Meine Antworten:

1) Echter Unterraum mit max. Dimension hat Dimension 3
   Unterraum mit minimaler Dimension hat Dimension 0 (Also = {0})

2) 3 * 3 * 3 * 3 = 81

3) Hier bin ich mir unsicher. Meine Antwort wäre 75 Elemente, nämlich von $0 + 75\mathbb{Z}$ bis $74 + 75\mathbb{Z}$. Es könnten aber auch unendlich viele sein (vermutlich eher das) wobei zwar z.B. $0 + 75\mathbb{Z}$ und $75 + 75\mathbb{Z}$ in dem Sinne "gleich" sind aber dennoch zwei Elemente. Was wäre da die richtige Antwort? Ich tendiere doch eher auf unendlich.

Mfg!



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-16 15:39


Hallo MePep,

Deine Antworten bei 1) und 2) sind richtig.

Zu 3): \(0+75\mathbb{Z}\) und \(75+75\mathbb{Z}\) sind nicht nur "gleich", sondern gleich, \(0+75\mathbb{Z}=75+75\mathbb{Z}=\{\ldots,-150,-75,0,75,150,\ldots\}\). Damit hat \(\mathbb{Z}/75\mathbb{Z }\) \(75\) Elemente.



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DavidM
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Mitteilungen: 307
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-16 15:41


Hallo MrPep,

deine Antworten zu 1) und 2) sind richtig.

Zu 3): Deine erste Idee war die Richtige: $\mathbb{Z}/75\mathbb{Z}$ hat 75 Elemente, denn in der Tat sind z.B. $0+75\mathbb{Z}$ und $75+75\mathbb{Z}$ dasselbe Element. $\mathbb{Z}/75\mathbb{Z}$ ist ja definiert als Menge von Äquivalenzklassen und $0$ und $75$ liegen in derselben Äquivalenzklasse, diese Äquivalenzklasse ist aber nur ein Element.

Gruß,
David

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16 16:12


Ok vielen Dank!



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MePep hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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