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Universität/Hochschule J Lineare Abbildung - Streckung
MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-16 15:37


Hallo!

Ich soll für folgende lineare Abbildung eine Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis des $\mathbb{R}^{3} $ finden:

"-Zunächst wird an der $(e_{1},e_{2})$-Ebene gespiegelt
 -Dann wird in $e_{1}$-Richtung um den Faktor 3 gestreckt
 -Dann wird um die $e_{2}$-Achse um 45 Grad gedreht (gegen den Uhrzeigersinn)"

1. Betrachtet man die Spiegelung, so ändert sich lediglich der Basisvektor $e_{3}$ zu $-e_{3}$ oder?

2. Bei der Streckung war ich mir nicht so ganz sicher, wie das in 3D zu verstehen ist. Vermutlich wird von jedem Vektor die Komponente in Richtung $e_{1}$ mit einem Skalar, also 3 multipliziert, oder? Im Prinzip würde dann einfach $e_{1}$ zu $3e_{1}$ werden, da bei den anderen beiden Basisvektoren eine 0 ist?

3. Nach der Drehung hätte ich somit folgende Darstellungsmatrix heraus: $\begin{pmatrix}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Stimmt das?

Mfg!



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-16 16:00


Hallo MePep,

am Besten wäre es, wenn Du mal die Matrizen \(A_1,A_2,A_3\) für Deine Spiegelung/Streckung/Drehung einzeln hinschreibst und dann das Produkt \(A_3A_2A_1\) berechnest.

Bei der Spiegelung und Streckung bist Du schon auf dem richtigen Weg.

Die Drehung um die \(e_2\)-Achse um den Winkel \(\alpha\) wird durch \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\) beschrieben, wie Du Dir leicht elementargeometrisch überlegen kannst.



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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16 16:23


2020-09-16 16:00 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo MePep,

am Besten wäre es, wenn Du mal die Matrizen \(A_1,A_2,A_3\) für Deine Spiegelung/Streckung/Drehung einzeln hinschreibst und dann das Produkt \(A_3A_2A_1\) berechnest.

Bei der Spiegelung und Streckung bist Du schon auf dem richtigen Weg.

Die Drehung um die \(e_2\)-Achse um den Winkel \(\alpha\) wird durch \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\) beschrieben, wie Du Dir leicht elementargeometrisch überlegen kannst.

Mein Gott... da hab ich ja glatt 45 Grad mit 90 Grad verwechselt...

Ok, mal sehen:

Dann wäre:

$A_{1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$

$A_{2} = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$A_{3} = \begin{pmatrix}cos45 & 0 & -sin45 \\ 0 & 1 & 0 \\ sin45 & 0 & cos45\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sqrt{2}/2 & 0 & -\sqrt{2}/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sqrt{2}/2 & 0 & \sqrt{2}/2\end{pmatrix}$

Und die Komposition, also $A_{3} \cdot (A_{2} \cdot A_{1})$ sollte nun die richtige Matrix ergeben oder?

Also: $\begin{pmatrix}3\sqrt{2}/2 & 0 & \sqrt{2}/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3\sqrt{2}/2 & 0 & -\sqrt{2}/2\end{pmatrix}$

Mfg



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-16 16:58


\(A_1\) stimmt.

Der Eintrag unten rechts bei \(A_2\) muss eine \(1\) sein.
Dort wird ja nur gestreckt und nicht gespiegelt.
Was bei Dir steht ist bereits \(A_2A_1\).
Daher ist am Ende auch das Vorzeichen der letzten Spalte von \(A_3A_2A_1\) falsch.

Achte darauf, dass Du \(sin(45^\circ)\) oder besser noch \(sin(\frac{\pi}{4})\) schreibst, \(\sin(45)\) ist ein anderer Wert.

Ob \(A_3\) stimmt hängt davon ab, was Du mit "gegen den Uhrzeigersinn" meinst.
Wenn Du vom Ursprung in Richtung der positiven \(e_2\)-Achse schaust, ist dies richtig.
Wenn du von der positiven \(e_2\)-Achse in Richtung Ursprung schaust, musst Du die Vorzeichen der Sinus-Terme vertauschen.




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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16 17:06


2020-09-16 16:58 - sonnenschein96 in Beitrag No. 3 schreibt:
\(A_1\) stimmt.

Der Eintrag unten rechts bei \(A_2\) muss eine \(1\) sein.
Dort wird ja nur gestreckt und nicht gespiegelt.
Was bei Dir steht ist bereits \(A_2A_1\).
Daher ist am Ende auch das Vorzeichen der letzten Spalte von \(A_3A_2A_1\) falsch.

Achte darauf, dass Du \(sin(45^\circ)\) oder besser noch \(sin(\frac{\pi}{4})\) schreibst, \(\sin(45)\) ist ein anderer Wert.

Ob \(A_3\) stimmt hängt davon ab, was Du mit "gegen den Uhrzeigersinn" meinst.
Wenn Du vom Ursprung in Richtung der positiven \(e_2\)-Achse schaust, ist dies richtig.
Wenn du von der positiven \(e_2\)-Achse in Richtung Ursprung schaust, musst Du die Vorzeichen der Sinus-Terme vertauschen.



1) Die -1 ist korrigiert, war ein copy&paste Fehler ^^
2) Ja genau so war das gemeint von der Drehung. Gegen den Uhrzeigersinn "wenn man aus Richtung der positiven Halbachse auf die (e1,e3) Ebene schaut"
3) Das mit sin und cos war meiner Faulheit geschuldet, sorry!

Danke für deine Zeit! Wirklich vielen Dank.

Lg



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