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 Unbeschränkte Ableitungen und Konvergenz der Taylorreihe |
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WagW
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 |  Themenstart: 2020-09-16
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Hallo zusammen,
sei $f:I\to\mathbb{R}$ eine Funktion, sodass für alle $n\in\mathbb{N},f^{n}(x)$, die $n$-te Ableitung existiert, wobei $I\subseteq\mathbb{R}$ ein Intervall ist.
Wir haben in unserem Skript die Aussage:
"Wenn es ein $K\in \mathbb{R}$ gibt, mit $|f^n(x)|\leq K$ für alle $x\in I$ und alle $n\in\mathbb{N}$, dann konvergiert die Taylorreihe punktweise gegen die Ursprungsfunktion."
Die folgende Funktion ist ja das Paradebeispiel, um zeigen, dass die Taylorreihe, hier im Punkt $0$ entwickelt, nicht zwangsläufig gegen die Ursprungsfunktion $f$ konvergiert:
$$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2}&x\neq 0\\
0&x=0.
\end{cases}$$
Wie kann ich nun in diesem Fall zeigen, dass meine obige Aussage bzgl. der beschränkten Ableitungen, nicht auf diese Funktion anwendbar ist? Ich weiß, dass die Ableitungen die Form $f^{n}(x)=x^{-3n}f(x)P_n(x)$ haben, wobei $P_n(x)$ ein Polynom ist. Ich kriege es aber nicht hin die Ableitungen irgendwie so abzuschätzen, dass ich einen Widerspruch erhalte, wenn ich eine gemeinsame Schranke $K$ für alle Ableitungen annehme.
Kann mir jemand sagen, wie ich das hinkriege? Oder wie zeige ich ansonsten, dass meine obige Aussage nicht auf diese Funktion anwendbar ist?
viele Grüße
WagW
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zippy
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-16
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\quoteon(2020-09-16 20:04 - WagW im Themenstart)
Ich kriege es aber nicht hin die Ableitungen irgendwie so abzuschätzen, dass ich einen Widerspruch erhalte, wenn ich eine gemeinsame Schranke $K$ für alle Ableitungen annehme.
\quoteoff
Schau dir an, wo eine Funktion der Form $x^{-3n}\exp(-\frac1{x^2})$ ihr Maximum annimmt und wie groß es ist.
--zippy
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WagW
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17
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Hallo zippy,
ich versuche das mal auszuführen:
Also wenn ich jetzt mal OBdA das Intervall auf $[-1,1]\setminus\{0\}$ setze, und dann die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion an der Stelle $0$ verwende, erhalte ich:
$$x^{-3n}e^{-\frac{1}{x^2}}= \frac{1}{x^{3n}(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2!x^4}+\frac{1}{3!x^6}+\cdots)}=\frac{1}{\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{x^{3n-2i}}{i!}}.$$
Für $(3n\mod 2) =1$, sieht man aber direkt, dass in jedem Summanden des Nenners ein $x$ vorkommt. Für $x\to 0$ geht der gesamte Bruch also gegen $\infty$.
Da die Polynomfunktion $P_n(x)$ nur negative Exponenten enthält, wird sie für $x\to 0$ ebenfalls gegen $\infty$ laufen. Damit kann ich keine Schranke für Intervalle finden, die um die $0$ herum liegen.
Ist das so korrekt?
viele Grüße
WagW
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Wally
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-17
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Hallo,
warum rechnest du nicht einfach aus, was zippy dir vorgeschlagen hat?
Viele Grüße
Wally
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WagW
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17
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Hallo Wally,
also das was ich gemacht habe liefert mir doch genau, dass das Maximum $\infty$ ist bzw. nicht existiert.
viele Grüße
WagW
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Wally
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Für \( x\to 0\) geht der Ausdruck gegen Null.
Viele Grüße
Wally
\(\endgroup\)
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WagW
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17
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hmm, wo ist denn dann mein Fehler?
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Wally
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-17
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Die meisten Summanden der Summe im Nenner gehen gegen unendlich.
Und jetzt rechne das Maximum mit Differentialrechnung aus.
Viele Grüße
Wally
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WagW
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17
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Ah ok Danke da lag mein Fehler.
Wenn ich nun das Maximum auf dem Innern von $I$ mithilfe der Bedingungen $f'(x)\overset{!}{=}0$ und $f''(x)<0$ suche, dann erhalte ich schließlich:
$f\left(\sqrt{\frac{2}{3n}}\right)=\frac{1}{e^{\frac{3n}{2}}\left(\sqrt{\frac{2}{3n}}\right)^{3n}}$ als Maximum. Gibt es hier jetzt irgendeinen Trick, um zu zeigen wie sich das Maximum für $n\to \infty$ entwickelt?
Aber selbst wenn ich jetzt das Maximum kenne, dann muss ich doch noch das Polynom $P_n(x)$ berücksichtigen, um zu beurteilen ob die Ableitung beschränkt ist oder nicht?
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Wally
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-09-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
\quoteon
Gibt es hier jetzt irgendeinen Trick, um zu zeigen wie sich das Maximum für n→∞ entwickelt?
\quoteoff
Ja. \( a^n b^n=(ab)^n\)
Viele Grüße
Wally\(\endgroup\)
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WagW
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-18
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😄 nicht gesehen, wenn ich das dann umforme komme ich auf:
$f\left(\sqrt{\frac{2}{3n}}\right)=\frac{1}{e^{\frac{3n}{2}}\left(\sqrt{\frac{2}{3n}}\right)^{3n}}=\left(\frac{3n}{e^1 2}\right)^{\frac{3n}{2}}$. Für $n\to\infty$ geht der Ausdruck dann gegen $\infty$, da $\left(\frac{3n}{e^1 2}\right)^{\frac{3n}{2}}$ eine streng monoton steigende Funktion ist. Ich frage mich aber trotzdem noch wie das Polynom $P_n(x)$ zu beurteilen ist? Für $n\to\infty$ könnte dieses doch auch noch $0$ werden?!
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Wally
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| Beitrag No.11, eingetragen 2020-09-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Was weißt du denn über \( P_n\) ?
Viele Grüße
Wally
\(\endgroup\)
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WagW
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-18
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Also über $P_n(X)$ weiß ich nur, dass das es $n$-viele Summanden hat und es je nachdem, ob der Grad der Ableitung gerade oder ungerade ist, die negativen Exponenten dann auch gerade bzw. ungerade sind. Die Koeffizienten entwickeln sich irgendwie "beliebig" bzw. erkenne ich da kein Muster. Ich sehe jetzt nicht wie mir das weiterhelfen sollte 🤔 In welche Richtung sollte ich da weiter überlegen?
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Wally
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| Beitrag No.13, eingetragen 2020-09-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Vielleicht über das absolute Glied - das ist etwa der Wert in der Nähe von \( 0\).
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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WagW
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-19
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Das Polynom hat kein Absolutglied bzw. es gilt $a_0=0$. Aber wieso sollte das Absolutglied denn den Wert Nahe $0$ widerspiegeln? Selbst wenn $a_0\neq 0 $ wäre, so würde das Polynom für $x$-Werte nahe $0$ wegen den negativen Exponenten $\infty$-groß werden?!
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zippy
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| Beitrag No.15, eingetragen 2020-09-19
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\quoteon(2020-09-19 00:14 - WagW in Beitrag No. 14)
Das Polynom hat kein Absolutglied bzw. es gilt $a_0=0$.
\quoteoff
Das ist doch schon für die erste Ableitung nicht richtig.
Überlege dir, dass $P_n$ die Form $P_n(x)=Q_n(x^2)$ hat, wobei $Q_n$ ein Polynom vom Grad $n-1$ mit $Q_n(0)=2^n$ ist.
Beispielsweise ist $Q_4(x)=16-144\,x+300\,x^2-120\,x^3$.
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WagW
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-19
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Ouh blöder Fehler🙄, ich hatte total vergessen den Term $x^{-3k}$ in den Ableitungen auszuklammern. Dann werden ja die ganzen Exponenten $\geq 0$ und ich erhalte ein "normales" Polynom.
Wenn ich nun das Maximum von $x^{-3n}e^{-\frac{1}{x^2}}$, welches an der Stelle $\sqrt{\frac{2}{3n}}$ liegt, betrachte, dann hatte ich ja bereits gezeigt, dass dieses für $n\to\infty$ unbeschränkt ist. Setze ich nun einfach $\sqrt{\frac{2}{3n}}$ in das Polynom $P_n(x)$ ein, so strebt dieses für $n\to\infty$ offensichtlich gegen das Absolutglied (Rechenregeln bzgl. Konvergenz von Folgen), welches nicht $0$ ist. Für $n\to \infty$ strebt dann der gesamte Ausdruck bzw. die Ableitung $f^n(x)=x^{-3n}e^{-\frac{1}{x^2}}P_n(x)$ gegen $\infty$.
Ist das so korrekt, oder hat sich da wieder ein Fehler eingeschlichen?
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