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 Assoziierte Vektorbündel eines Hauptfaserbündels |
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FibreBundle
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Hallo! Hier eine neue Frage!
Wenn ich nun ein Hauptfaserbündel (genauer das Rahmenbündel) $\pi:P\rightarrow M$ mit Strukturgruppe $G=GL(n,R)$ habe, wie kann ich dann daraus ein assoziiertes komplexwertiges Linienbündel $\pi_E:E\rightarrow M$ mit Fasertyp $\mathbb{C}$ machen?
Ich hab mir dazu folgendes überlegt:
$E:=P\times_G\mathbb{C}:= (P\times \mathbb{C})/G$
Soweit die Definition. Dann muss allerdings auch $G$ auf $\mathbb{C}$ glatt von links wirken, wie bekomme ich das zu Stande?
$(p,\lambda) g := (pg,g^{-1}\lambda)$ mit $g^{-1}\in G$ und $\lambda\in \mathbb{C}$.
Das kommt in der 26 Video-Lektion der Serie "Lectures on Geometrical Anatomy of Theoretical Physics" auf Youtube von Frederic Schuller vor.
Danke im voraus und LG!
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Triceratops
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-23
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FibreBundle
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-23
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Ja, genau dieses Video!
Ab Minute 30 beginnt er darüber zu reden, dass das Vektorbündel als assoziiertes Bündel des Rahmenbündels zu sehen ist.
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-24
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Ok ich weiß es ehrlich gesagt auch nicht, aber rate einfach einmal, dass die Wirkung $G = GL(n,\IR) \to \IC^*$ die Determinante ist. Etwas natürlicher wäre es dann, $GL(n,\IC)$ zu betrachten.
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FibreBundle
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-24
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Bedeutet $\mathbb{C}^*$ den Dualraum, oder $\mathbb{C}\setminus\{0\}$?
Hmmm ...
ich habe bei der Englisch-Wikipedia (en.wikipedia.org/wiki/Associated_bundle) die folgende Konstruktion für assoziierte Faserbündel gefunden:
$(P,\pi,M,G)$ ist das Hauptfaserbündel und $F$ die Faser, die man statt $G$ haben möchte (bei mir wäre dann $F=\mathbb{C}$). Anstatt der obigen Definition des assoziierten Faserbündels $(E,\pi_E,M,F)$ steht dort:
$E:=P\times_{\rho}F:=P\times F/G$
mit $(p,f)g:=(pg,\rho(g^{-1})g)$,
was bedeuten würde, dass man eine Funktion $\rho: G\rightarrow Abbildungen(F\rightarrow F)$ zur Verfügung hat.
Das würde bedeuten, dass ich ein $\rho(g):\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ finden muss.
Dann könnte ich auch die Determinanten-Abbildung verwenden:
$\rho(g): \lambda\mapsto \det{g}\lambda$ mit $\lambda\in\mathbb{C}$.
Ergibt das Sinn?
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