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| Autor |
  Inverse in der Gruppe U_n |
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 265
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 | \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallo miteinander
Für eine positive ganze Zahl $n$ betrachte man die Menge \[U_n:=\{\overline{r} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \mid \mathrm{ggT}(r,n) = 1\}\] mit der multiplikativen Verknüpfung
\[\overline{r}\cdot\overline{s} = \overline{rs}.\]
Zeige: $U_n$ ist eine abelsche Gruppe.
Beweis:
- Abgeschlossenheit
- Kommutativität
- Assoziativität
- Neutrales Element
konnte ich alle nachweisen. Mir fehlen jedoch die Inversen...
Zur Existenz von Inversen:
Sei $\overline{a}\in U_n$. Wir verwenden das \(\textit{Lemma von Bézout}\) (Lemma von Bézout: $\forall a,b \in \mathbb{Z} \,\exists s,t \in \mathbb{Z} : \mathrm{ggT}(a,b) = sa+tb.$) und schreiben ggT$(a,n)=1=sa+tn$ für ganze Zahlen $s,t \in \mathbb{Z}$. Setze dann $s:=a^{-1}$, womit folgt
\[
\begin{align*}
\underbrace{a^{-1}a}_{=1} -tn = 1
\end{align*}
\]
Für $\overline{a} \in U_n$ setze \((\overline{a})^{-1}:=...\) (hier weiss ich nicht was reinschreiben). Damit folgt nämlich
\[
\begin{align*}
\mathrm{ggT}(r,n)=1
\implies \mathrm{ggT}(s,n)=1
\implies \mathrm{ggT}(a^{-1},n)=1
\implies \overline{a}^{-1} \in U_n
\end{align*}
\]
Und habe ich mit meiner Definition $s=a^{-1}$ ein Problem, da Inverse von ganzen Zahlen rationale Zahlen sind?🤔
Ich danke für jeden Tipp.😁
\(\endgroup\)
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1121
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Ich denke du hast das Lemma von Bezout falsch verstanden. Das Lemma liefert dir zwei ganze Zahlen $s,t$, da sollst du nichts selber setzen. Der Kandidat für die Inverse von $a$ is die Restklasse von $s$ modulo $n$.
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 265
Herkunft: Muri AG, Schweiz
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-27
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ok danke für den Hinweis, Kezer. Ist mir jetzt klar.😄
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