Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Galois-Gruppe bestimmen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Galois-Gruppe bestimmen
LukasNiessen
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.09.2019
Mitteilungen: 137
Aus: Nordrhein-Westfalen, Bonn, Südstadt
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-29 10:45

\(\begingroup\)\(\newcommand{\defi}{\overset{\mathscr{D}\mathscr{e}\mathscr{f}.}{=\!=}} \newcommand{\defeq}{\overset{\mathscr{D}\mathscr{e}\mathscr{f}.}{=\!=}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \DeclareMathOperator{\mer}{mer} \DeclareMathOperator{\Sht}{Sht} \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann} \DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \newcommand{\h}{\o{h}} \DeclareMathOperator{\ind}{ind} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Coker}{Coker} \DeclareMathOperator{\Div}{Div} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\dom}{dom} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\Res}{Res} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} \DeclareMathOperator{\Con}{Con} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\scale}{scale} \DeclareMathOperator{\Sper}{Sper} \DeclareMathOperator{\Sp}{Sp} \DeclareMathOperator{\vol}{vol} \DeclareMathOperator{\Cl}{Cl} \DeclareMathOperator{\Ét}{Ét} \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \DeclareMathOperator{\rad}{rad} \DeclareMathOperator{\lim}{lim} \DeclareMathOperator{\char}{char} \DeclareMathOperator{\Proj}{Proj} \DeclareMathOperator{\proj}{proj} \DeclareMathOperator{\length}{length} \DeclareMathOperator{\locArt}{locArt} \DeclareMathOperator{\***}{***} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\Pic}{Pic} \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\ker}{ker} \DeclareMathOperator{\ht}{ht} \DeclareMathOperator{\Frob}{Frob} \DeclareMathOperator{\Frac}{Frac} \DeclareMathOperator{\det}{det} \newcommand{\AA}{\sc{A}} \newcommand{\Rem}{\gudl{\sc{R}\!emark}} \newcommand{\Def}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{D}\!efinition}}}} \newcommand{\Defn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{D}\!efinition\tx{}#1}}}} \newcommand{\Prop}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{P}\!roposition}}}} \newcommand{\Propn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{P}\!roposition\tx{}#1}}}} \newcommand{\Claim}{\gudl{\sc{C}\!laim\colon}} \newcommand{\Claimn}[1]{\gudl{\sc{C}\!laim \tx{}#1}} \newcommand{\Thm}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{T}\!heorem}}}} \newcommand{\Thmn}[1]{\gudl{\sc{T}\!heorem\tx{}#1}} \newcommand{\O}{\c{O}} \DeclareMathOperator{\Ouv}{Ouv} \newcommand{\Cor}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{C}\!orollary}}}} \newcommand{\Corn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{C}\!orollary\tx{}#1}}}} \newcommand{\Fct}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{F}\!act}}}} \newcommand{\Fctn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{F}\!act\tx{}#1}}}} \newcommand{\Lem}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{L}\!emma}}}} \newcommand{\Lemn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{L}\!emma\tx{}#1}}}} \newcommand{\Exp}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{E}\!xample}}}} \newcommand{\Expn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{E}\!xample\tx{}#1}}}} \newcommand{\Rem}{\gudl{\sc{R}\!emark\colon}} \newcommand{\Remn}[1]{\gudl{\sc{R}\!emark #1\colon}} \newcommand{\brc}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\qst}{{}^{\color{red}{[?]}}} \newcommand{\qstn}[1]{{}^{\color{red}{[?,#1]}}} \newcommand{\sto}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\Ga}{\mathbb{G}_a} \newcommand{\G}{\mathbb{G}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\Gm}{\G_m} \newcommand{\d}[1]{_{#1}} \newcommand{\nz}{\not=0} \newcommand{\x}{(x)} \newcommand{\y}{(y)} \newcommand{\r}[1]{\mid_{#1}} \newcommand{\ij}{(i,j)} \newcommand{\o}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\ne}{\not=\emptyset} \newcommand{\ISLn}{\mathbb{S}\mathbb{L}_n} \newcommand{\tfae}{\textbf{T.F.A.E.}} \newcommand{\ndownlong}[2]{#1\ -\!\!\!\rightharpoonup\!\leftharpoondown\!\to\! #2} \newcommand{\OC}{\c{O}_C} \newcommand{\OF}{\c{O}_F} \newcommand{\gsp}[1]{\udl{\Spec}_S(#1)} \newcommand{\shso}{\udl{\text{Sheaves on}}} \newcommand{\shs}{\udl{\text{Sheaves}}} \newcommand{\ush}[1]{\udl{\text{Sheaf}}(#1)} \newcommand{\sh}{\udl{\text{Sheaf}}} \newcommand{\rr}{/\!\!/} \newcommand{\EE}{\mathscr{E}} \newcommand{\V}{\mathbb{V}} \newcommand{\ddd}{(d,d_1,d_2)} \newcommand{\Vd}{V_{d,d_1,d_2}} \newcommand{\xy}{(x,y)} \newcommand{\OX}{\c{O}_X} \newcommand{\Ox}{\c{O}_{X,x}} \newcommand{\KK}{\mathbb{K}} \newcommand{\lims}{\limsup_{n\to \infty}} \newcommand{\proof}{\gudl{\mathscr{P}\!roof}\colon} \newcommand{\proofofprop}[1]{\underline{\color{orange}{\mathscr{P}\!roof\tx{}of\tx{}\sc{P}\!roposition\tx{}#1}\colon}} \newcommand{\proofofcor}[1]{\underline{\color{orange}{\mathscr{P}\!roof\tx{}of\tx{}\sc{C}\!orollary\tx{}#1}\colon}} \newcommand{\proofofthm}{\gudl{\sc{P}\!roof\tx{}of\tx{}\sc{T}\!heorem\colon}} \newcommand{\proofofthmn}[1]{\gudl{\sc{P}\!roof\tx{}of\tx{}\sc{T}\!heorem\tx{}#1\colon}} \newcommand{\Bew}{\underline{\color{orange}{\mathscr{B}\!eweis}\colon}} \newcommand{\defeq}{\overset{\mathscr{D}\mathscr{e}\mathscr{f}.}{=\!=}} \newcommand{\set}[2]{\{#1\mid #2\}} \newcommand{\SS}{\mathscr{S}} \newcommand{\FF}{\mathscr{F}} \newcommand{\DD}{\mathscr{D}} \newcommand{\dyadksum}[1]{\sum_{I\in \DD_k,I\sube J}#1} \newcommand{\noem}{\not=\emptyset} \newcommand{\DD}{\c{D}} \newcommand{\BB}{\mathscr{B}} \newcommand{\Pr}{\ff{P}} \newcommand{\exact}[3]{0\to #1\to #2\to#3\to 0} \newcommand{\qed}{\gudl{\ff{Q}.\ff{E}.\ff{D}.}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\wh}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\spr}[1]{\Sper(#1)} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\sp}[1]{\Spec(#1)} \newcommand{\nuplong}[2]{#1\ -\!\!\!\rightharpoondown\!\leftharpoonup\!\to\! #2} \newcommand{\ndownloong}[2]{#1 -\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup\!\leftharpoondown\!\!\!\longrightarrow \!#2} \newcommand{\bop}{\bigoplus} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\lxen}{\langle x_1\cos x_n\rangle} \newcommand{\Xen}{[X_1\cos X_n]} \newcommand{\xen}{[x_1\cos x_n]} \newcommand{\ip}{\langle -,- \rangle} \newcommand{\ipr}[2]{\langle #1,#2 \rangle} \newcommand{\vth}{\vartheta} \newcommand{\pprod}{\prod_{v\in\ff{M}_\K}} \newcommand{\pfam}[1]{(#1)_{v\in\ff{M}_\K}} \newcommand{\finfam}[1]{(#1)_{i=1}^n} \newcommand{\fam}[1]{(#1)_{i\in I}} \newcommand{\jfam}[1]{(#1)_{j\in J}} \newcommand{\kfam}[1]{(#1)_{k\in K}} \newcommand{\nfam}[1]{(#1)_{i=1}^n} \newcommand{\nifam}[1]{(#1)_{n=0}^\infty} \newcommand{\udl}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\Uij}{U_i\cap U_j} \newcommand{\vpi}{\varphi_i} \newcommand{\vpj}{\varphi_j} \newcommand{\vph}{\varphi} \newcommand{\psij}{\psi_{i,j}} \newcommand{\CC}{\c{C}} \newcommand{\nsum}{\sum_{n\in\N}} \newcommand{\twist}[1]{\c{O}_{\mathbb{P}_k^n}(#1)} \newcommand{\prj}[1]{\Proj (#1)} \newcommand{\part}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\kxn}{k[x_0,\pts,x_n]} \newcommand{\ques}{\gudl{\c{Q}\!uestion\colon}} \newcommand{\quesn}[1]{\gudl{\c{Q}\!uestion\tx{}#1\colon}} \newcommand{\answ}{\gudl{\sc{A}\!nswer\colon}} \newcommand{\cons}{\color{orange}{\udl{\color{black}{\sc{C}\!onsiderations:}}}} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\pr}{\mathfrak{p}} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1\right|} \newcommand{\ab}{\left|-\right|} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\KX}{K[X]} \newcommand{\cov}{\c{U}} \newcommand{\ff}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} \newcommand{\half}{\frac{1}{2}} \newcommand{\ANF}{K/\Q} \newcommand{\GFF}{F/{\F_p(t)}} \newcommand{\Os}{\mathcal{O}_{S,s}} \newcommand{\lineb}{\sc{L}} \newcommand{\cyclm}{\Q(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\cyclmK}{K(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\LX}{L[X]} \newcommand{\GG}{\sc{G}} \newcommand{\OS}{\mathcal{O}_S} \newcommand{\bb}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\OY}{\mathcal{O}_Y} \newcommand{\vdp}{\sc{V}\!an\text{ }der\text{ }\sc{P}\!ut} \newcommand{\weierstr***}{\sc{W}\!eierstraß} \newcommand{\runge}{\sc{R}\!unge} \newcommand{\laurent}{\sc{L}\!aurent} \newcommand{\grothendieck}{\sc{G}\!rothendieck} \newcommand{\noether}{\sc{N}\!oether} \newcommand{\glX}{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)} \newcommand{\glY}{\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y)} \newcommand{\finKX}{f\in K[X]} \newcommand{\ser}[1]{\sm{n=0}{\infty}{#1}} \newcommand{\sm}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\sum}} #3} \newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\sube}{\subseteq} \newcommand{\hk}{\hookrightarrow} \newcommand{\OYy}{\mathcal{O}_{Y,y}} \newcommand{\supe}{\supseteq} \newcommand{\resy}{\kappa(y)} \newcommand{\LK}{L/K} \newcommand{\iso}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\isom}[3]{#1\overset{#2}{\iso}#3} \newcommand{\kn}{k^n} \newcommand{\kvec}{\textbf{vect}(k)} \newcommand{\fkvec}{\textbf{vect}_{<\infty}(k)} \newcommand{\fz}{f(X)=0} \newcommand{\KIsom}{L\underset{K}{\overset{\sim}{\to}} L} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\L}{\mathbb{L}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\ad}{\A_k} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p} \newcommand{\Qp}{\mathbb{Q}_p} \newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}_q} \newcommand{\Fp}{\mathbb{F}_p} \newcommand{\I}{[0,1]} \newcommand{\In}{[0,1]^n} \newcommand{\Fpn}{\mathbb{F}_{p^n}} \newcommand{\Fpm}{\mathbb{F}_{p^m}} \newcommand{\Zn}{\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}} \newcommand{\Zx}[1]{\mathbb{Z}/{#1\mathbb{Z}}} \newcommand{\md}[3]{#1\equiv #2\pmod{#3}} \newcommand{\ga}{\Gal(L/K)} \newcommand{\aga}[1]{\Gal(\overline{#1}/#1)} \newcommand{\sga}[1]{\Gal(#1^{sep}/{#1})} \newcommand{\gal}[2]{\Gal(#1/{#2})} \newcommand{\c}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\skw}{\{\tau\}} \newcommand{\limes}[1]{\underset{i\in I}{\varprojlim{#1_i}}} \newcommand{\IGLn}{\mathbb{G}\mathbb{L}_n} \newcommand{\IGL}{\mathbb{G}\mathbb{L}} \newcommand{\Co}[2]{H^p(#1,#2)} \newcommand{\OK}{\mathcal{O}_K} \newcommand{\OL}{\mathcal{O}_L} \newcommand{\res}[1]{\kappa(#1)} \newcommand{\resx}{\kappa(x)} \newcommand{\lTen}{\langle T_1\cos T_n\rangle} \newcommand{\lXen}{\langle X_1\cos X_n\rangle} \newcommand{\Te}{[T]} \newcommand{\Tee}{[T_1,T_2]} \newcommand{\Teee}{[T_1,T_2,T_3]} \newcommand{\Ten}{[T_1\cos T_n]} \newcommand{\Tem}{[T_1\cos T_m]} \newcommand{\pts}{\cdots} \newcommand{\pt}{\cdot} \newcommand{\hm}[3]{\Hom_{#1}(#2,#3)} \newcommand{\hom}{\Hom} \newcommand{\dash}{\dashrightarrow} \newcommand{\schemes}{\bb{(Sch)}} \newcommand{\groups}{\bb{(Grp)}} \newcommand{\rings}{\bb{(Ring)}} \newcommand{\tx}[1]{\text{ #1 }} \newcommand{\mm}{\ff{m}} \newcommand{\zkinfsum}{\sum_{k=0}^\infty} \newcommand{\ziinfsum}{\sum_{i=0}^\infty} \newcommand{\zjinfsum}{\sum_{j=0}^\infty} \newcommand{\asum}[1]{\sum_{\a\in\N^n}#1 X^\a} \newcommand{\arr}[3]{#1\overset{#2}{\to} #3} \newcommand{\nrm}[1]{\left\|#1\right\|} \newcommand{\nr}{\nrm{-}} \newcommand{\ext}[2]{#1/{#2}} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\vp}{\varphi} \newcommand{\p}{\phi} \newcommand{\bul}{\bullet} \newcommand{\t}{\tau} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\T}{\mathbb{T}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\tms}{\times\pts\times} \newcommand{\ot}{\otimes} \newcommand{\ots}{\otimes\pts\otimes} \newcommand{\pls}{+\pts +} \newcommand{\cos}{,\pts,} \newcommand{\op}{\oplus} \newcommand{\ops}{\oplus\pts\oplus} \newcommand{\cr}{\circ} \newcommand{\crs}{\circ\pts\circ} \newcommand{\sc}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\scal}[2]{\sc{#1}{\!#2}} \newcommand{\ov}[2]{\begin{matrix}#1 \\ #2\end{matrix}} \newcommand{\viele}{\color{orange}{\udl{\color{black}{\sc{V}\!iele\tx{}\sc{G}\!r\overset{{}_{,,\!}}{u}\textit{ß}e}}}} \newcommand{\xst}{\color{orange}{\udl{\color{black}{X.S.T.\sim 小石头}}}} \newcommand{\gudl}[1]{\color{orange}{\udl{\color{black}{#1}}}} \newcommand{\Task}{\gudl{\sc{T}\!ask:}} \newcommand{\Exer}{\gudl{\sc{E}\!exercise:}} \newcommand{\Drinfeld}{\gudl{\sc{D}\!rinfeld:}} \newcommand{\Goss}{\gudl{\sc{G}\!oss}} \newcommand{\CK}{C/K} \newcommand{\CS}{C/S} \newcommand{\Ck}{C/k} \newcommand{\Om}{\Omega} \newcommand{\J}{\Jac_{\CS}^{g-1}} \newcommand{\Fact}{\gudl{\sc{F}\!act\colon}} \newcommand{\Factn}[1]{\gudl{\sc{F}\!act\tx{}#1\colon}}\)
Hey,

ich soll die Galois-Gruppe des Polynoms $X^5-1 \in \mathbb{F}_7[X]$ bestimmen.

Sie ist eine Untergruppe von $S_5$.

---

Der Zerfallungskörper L des Polynoms über $\mathbb{F}_7$ wird offenbar von einer primitiven Einheitswurzel erzeugt, etwa $L = \mathbb{F}_7(\zeta)$

Wir haben nun einen Satz bewiesen, nach dem folgendes gilt, ich kann ihn anweden, da $\text{ggT}(5, 7) = 1$:
$[\mathbb{F}_7(\zeta) : \mathbb{F}_7] = \text{ Ordnung von 7 in } (\IZ / 5 \IZ)^* = 4$

Daher hat auch die gesuchte Galois-Gruppe die Ordnung 4.
Die folgende Untergruppe müsste dann doch die Galois-Gruppe sein, richtig?

$\{\{\zeta \mapsto \zeta \}, \{\zeta \mapsto \zeta^2\}, \{\zeta \mapsto \zeta^3\}, \{\zeta \mapsto \zeta^4\}\}$

Danke!


-----------------
Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4730
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-29 12:12


Ja und die Galoisgruppe ist $(\IZ/5\IZ)^{\times} \cong \IZ/4\IZ$.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LukasNiessen
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.09.2019
Mitteilungen: 137
Aus: Nordrhein-Westfalen, Bonn, Südstadt
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-29 12:17


Danke!


-----------------
Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LukasNiessen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LukasNiessen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]