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 Fréchet-Ableitung |
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Mathsman
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 |  Themenstart: 2020-10-03
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Hallo an alle ich tu mich grad bei einem Beispiel komplett schwer, wo ich zeigen muss, dass diese lineare Abbildung Frechet-diffbar ist. Ich glaub es liegt, daran dass ich nicht weiß wie da rangehen soll.
Rein nach Definition heißt es da bei uns: Eine allgemeine Abbildung von X nach Y ist Frechet-diffbar in a, wenn es eine lineare Abbildung Df_a \in L(X,Y) gibt mit
f(a+h)=f(a)+Df_a(h)+o(norm(h)) mit h->0
Soweit so gut, nur wie kann ich das dann anwenden. Ich hab folgendes Beispiel und ich steh komplett an, was ich machen soll.
Geg.: f: intervall(a,b)\cross\ \IR->\IR stetig und stetig diffbar in der zweiten Komponente. Zeige: F: C intervall(a,b)->C intervall(a,b)mit F(u)(x) = f(x,u(x)).
Wie leite ich da ab? Oder wie kann ich da überhaupt auf einen Kandidaten für DF_u(h) kommen? Mit der Bitte um ein wenig Erleuchtung.
LG Mathsman
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-03
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\quoteon(2020-10-03 14:35 - Mathsman im Themenstart)
Oder wie kann ich da überhaupt auf einen Kandidaten für DF_u(h) kommen?
\quoteoff
An einen Kandidaten für die Ableitung kommst du am schnellsten, indem du einfach in die abzuleitende Funktion $\cdots+h$ einsetzt und dann "losrechnest" ohne dich um Details irgendwelcher Entwicklungen und Abschätzungen zu kümmern.
In deinem Fall sähe das so aus:$$
F(u+h)(x)=f\bigl(x,u(x)+h(x)\bigr)=
f\bigl(x,u(x)\bigr)+{\partial f\over\partial u}\bigl(x,u(x)\bigr)\,h(x)+\cdots
$$Der Kandidat für $DF_u$, mit dem du weiterarbeiten kannst, ist also der durch$$
\bigl[DF_u(h)\bigr](x)={\partial f\over\partial u}\bigl(x,u(x)\bigr)\,h(x)$$definierte lineare Operator.
--zippy
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Mathsman
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-03
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Oke gut danke, da hab ich auch ein Problem wie kommst du da überhaupt auf die zweite Zeile. Wo kommt die Ableitung da auf einmal her und was ist der Restterm da? Wenn ich zeigen will, dass das Frechet diffbar ist muss ich ja zeigen, dass der Restterm der Ordnung o(||h||) ist.
LG Mathsman
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zippy
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-03
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\quoteon(2020-10-03 16:23 - Mathsman in Beitrag No. 2)
Wo kommt die Ableitung da auf einmal her und was ist der Restterm da?
\quoteoff
Du zerlegst den Ausdruck $\displaystyle
f\bigl(x,u(x)\bigr)+{\partial f\over\partial u}\bigl(x,u(x)\bigr)\,h(x)+\cdots$ in
1. den von $h$ unabhängigen Summanden $f\bigl(x,u(x)\bigr)=F(u)(x)$,
2. den in $h$ linearen Summanden $\displaystyle
{\partial f\over\partial u}\bigl(x,u(x)\bigr)\,h(x)$ und
3. den Rest, der hier durch "$\cdots$" nur angedeutet wird.
Dann kannst du die Ableitung aus (2) ablesen und (3) ist der Restterm, den du abschätzen musst.
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Mathsman
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-04
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Hmm oke danke, dann versuch ich mich einmal daran:
Um zu zeigen, dass das die Frechet-Ableitung ist reicht es zu zeigen, dass: lim(h->0,norm(f(x,u(x)+h(x))-f(x,u(x))-pdiff(f,u)(x,u(x))h(x))/norm(h(x))=0
So wenn man sich den Ausdruck jetzt ansieht könnte man doch auf f(x,u(x)+h(x))-f(x,u(x)) den Mittelwertssatz der Differentialrechnung anwenden und man bekommt f(x,u(x)+h(x))-f(x,u(x))=pdiff(f,u)(x,u(x)+p(x)*h(x))h(x). Eingesetzt hebt man h(x) auf der rechten Seite heraus und kürzt. Weiters wissen wir, dass f(x,u(x)) in der zweiten Komponente stetig diffbar ist und deswegen die Ableitung insbesondere stetig und daraus folgt die Aussage. Kann man das so machen?
LG Mathsman
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zippy
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-04
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\quoteon(2020-10-04 14:33 - Mathsman in Beitrag No. 4)
Kann man das so machen?
\quoteoff
Nein, denn so etwas wie $\|h(x)\|$ ergibt keinen Sinn. Es gibt die Norm der Funktion $h$, nicht aber die des Funktionswerts $h(x)$.
Du musst also erst eine Abschätzung für die Funktionswerte finden und daraus dann eine Abschätzung für die Normen ableiten. In dem zweiten Schritt wirst du auch von der konkreten Definition deiner Norm Gebrauch machen müssen.
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Mathsman
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-10
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Hmm ich steh komplett an, was kann man da für Abschätzungen für Funktionswerte finden? Das ist ja irgendeine Funktion aus C([a,b]). Soll man da zuerst gegen das Maximum abschätzen? Tut mir leid aber ich bin planlos... Ich bitte um ein wenig mehr Hilfe, ich durchschaue das grad gar nicht.
LG Mathsman
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