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Funktionentheorie » Holomorphie » Komplexe Differenzierbarkeit
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Universität/Hochschule Komplexe Differenzierbarkeit
Wirkungsquantum
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  Themenstart: 2020-10-05

Hallo, worin liegt eigentlich die Besonderheit an komplexer Differenzierbarkeit bzw. an Holomorphie? Man kann ja $\mathbb{C}$ auch als reellen Vektorraum, mit $\{1, i\}$ als Basis auffassen. Ich hab hierzu gelesen, dsa man dann die komplexe Differenzierbarkeit wiederum einfach im mehrdimensionalen reellen Sinne verstehen kann, aber wieso ist komplexe Differenzierbarkeit trotzdem ein so viel stärkerer Begriff als reelle Differenzierbarkeit? Danke und Grüße h


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-05

\quoteon(2020-10-05 09:18 - Wirkungsquantum im Themenstart) aber wieso ist komplexe Differenzierbarkeit trotzdem ein so viel stärkerer Begriff als reelle Differenzierbarkeit? \quoteoff Komplexe Differenzierbarkeit verlangt, dass die durch $f(z+h)=f(z)+f'(z)h+o(h)$ definierte Ableitung $f'(z)$ als Funktion $h\mapsto f'(z)h$ $\mathbb C$-linear ist, und das ist mehr als nur $\mathbb R$-linear. Beispielsweise ist die Funktion $z\mapsto\bar z$ $\mathbb R$-linear und damit auch reell differenzierbar, aber nicht $\mathbb C$-linear und nicht komplex differenzierbar. --zippy


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Hallo Wirkungsquantum, um zippys Beitrag zu ergänzen: $\C$-lineare Abbildungen auf $\C$ sind gerade die Drehstreckungen (und die Nullabbildung, falls man diese nicht als Drehstreckung sehen will). Während allgemein reell differenzierbare Funktionen lokal durch beliebige Kombinationen von Drehungen, Spiegelungen, Stauchungen, Scherungen, Streckungen, etc. genähert werden können, kann eine komplex differenzierbare Funktion lediglich durch Drehungen und Streckungen genähert werden. Das führt dazu, dass holomorphe Funktionen, deren Differential nicht gerade $0$ ist, Winkel inklusive Orientierung erhalten. Schneiden sich zwei reguläre Kurven $\gamma,\eta$ unter einem bestimmten Winkel, und hat eine holomorphe Funktion $f$ am Schnittpunkt keine verschwindende Ableitung, dann schneiden sich $f\circ\gamma,f\circ\eta$ unter genau demselben Winkel. Kurzgefasst sind holomorphe Funktionen also lokal konform oder haben verschwindendes Differential. Das ist eine sehr eingeschränkte Klasse von Funktionen. Viele Grüße Vercassivelaunos\(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-05

Ein weiterer wesentlicher Unterschied ist, dass jede komplex-differenzierbare Funktion sogar unendlich oft komplex-differenzierbar ist. Bei reell-differenzierbaren Funktionen ist das bekanntlich nicht der Fall.


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Wirkungsquantum
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

Hallo, danke für eure Antworten und sorry für die späte Rückmeldung. Ich wollte mich nach den Antworten erstmal mit der Literatur und Thematik nochmal beschäftigen (aber kam nur stückweise dazu). \quoteon(2020-10-05 09:26 - zippy in Beitrag No. 1) Komplexe Differenzierbarkeit verlangt, dass die durch $f(z+h)=f(z)+f'(z)h+o(h)$ definierte Ableitung $f'(z)$ als Funktion $h\mapsto f'(z)h$ $\mathbb C$-linear ist, und das ist mehr als nur $\mathbb R$-linear. Beispielsweise ist die Funktion $z\mapsto\bar z$ $\mathbb R$-linear und damit auch reell differenzierbar, aber nicht $\mathbb C$-linear und nicht komplex differenzierbar. \quoteoff Ach so, das ist sehr plausibel. Danke! Folgt daraus, das der Real und Imagniärteil im allgemeinen nicht holomorph sind? Da sie ja Summe der komplex konjugierten sind. \quoteon(2020-10-05 10:28 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2) um zippys Beitrag zu ergänzen: $\C$-lineare Abbildungen auf $\C$ sind gerade die Drehstreckungen (und die Nullabbildung, falls man diese nicht als Drehstreckung sehen will). Während allgemein reell differenzierbare Funktionen lokal durch beliebige Kombinationen von Drehungen, Spiegelungen, Stauchungen, Scherungen, Streckungen, etc. genähert werden können, kann eine komplex differenzierbare Funktion lediglich durch Drehungen und Streckungen genähert werden. Das führt dazu, dass holomorphe Funktionen, deren Differential nicht gerade $0$ ist, Winkel inklusive Orientierung erhalten. Schneiden sich zwei reguläre Kurven $\gamma,\eta$ unter einem bestimmten Winkel, und hat eine holomorphe Funktion $f$ am Schnittpunkt keine verschwindende Ableitung, dann schneiden sich $f\circ\gamma,f\circ\eta$ unter genau demselben Winkel. Kurzgefasst sind holomorphe Funktionen also lokal konform oder haben verschwindendes Differential. Das ist eine sehr eingeschränkte Klasse von Funktionen. \quoteoff Ach so, jetzt verstehe ich's. Folgt dann die Eigenschaft das die linearen Abbildungen auf $\mathbb{C}$ nur Drehstreckungen sind aus der Polarform? \quoteon(2020-10-05 10:43 - Triceratops in Beitrag No. 3) Ein weiterer wesentlicher Unterschied ist, dass jede komplex-differenzierbare Funktion sogar unendlich oft komplex-differenzierbar ist. Bei reell-differenzierbaren Funktionen ist das bekanntlich nicht der Fall. \quoteoff Oh ja stimmt. Kann man das auch geometrisch (o.ä.) begründen? Mal vom Beweis abgesehen, frage ich mich warum das im komplexen gilt. Grüße h


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-25

\quoteon(2020-10-25 08:58 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 4) Oh ja stimmt. Kann man das auch geometrisch (o.ä.) begründen? Mal vom Beweis abgesehen, frage ich mich warum das im komplexen gilt. \quoteoff Eine rein geometrische Begründung kann es nicht geben, aber bei MSE/640 gibt es (in den Antworten von Qiaochu Yuan und John D. Cook) geometrische Hinweise darauf, warum komplex-differenzierbare Funktionen eingeschränkter als reell-differenzierbare Funktionen sind und daher bessere Eigenschaften haben.


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Wirkungsquantum
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

\quoteon(2020-10-25 09:08 - Triceratops in Beitrag No. 5) Eine rein geometrische Begründung kann es nicht geben, aber bei MSE/640 gibt es (in den Antworten von Qiaochu Yuan und John D. Cook) geometrische Hinweise darauf, warum komplex-differenzierbare Funktionen eingeschränkter als reell-differenzierbare Funktionen sind und daher bessere Eigenschaften haben. \quoteoff Danke, ich schaus mir mal in Ruhe an.


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Red_
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  Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-26

Vielleicht hilft dir auch meine Antwort bei diesem Thread hier.


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Wirkungsquantum
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-01

Hallo, sorry für die ziemlich verzögerte Rückmeldung (hatte vor lauter stress keinen passenden Augenblick dafür gefunden und es danach vergessen). \quoteon(2020-10-26 10:13 - Red_ in Beitrag No. 7) Vielleicht hilft dir auch meine Antwort bei diesem Thread hier. \quoteoff Vielen Dank! Das Thema ist durch eure Hilfe schon deutlich klarer geworden. Grüße h


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Wirkungsquantum hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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