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Kein bestimmter Bereich Alles bloß Schiebung!
cramilu Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-05

Den Ziffern-Tausch-Mitknoblern der Vorwochen war vermutlich klar,
was da unausweichlich noch kommen musste 😛

Nach Radix'  Link** Verdopplungsverschiebung
und meinen beiden "Upgrades"
LinkVerschiebungsvervielfachung  sowie  LinkDoppelschiebequadruplierung
nachstehend also der folgerichtige "Klimax"...



Finde natürliche Zahlen, die sich ganzzahlig vervielfachen,
wenn man jeweils ihre letzte Ziffer hinten entfernt
und als neue erste Ziffer nach vorne verschiebt.
(siehe  Link** Verdopplungsverschiebung  und  LinkVerschiebungsvervielfachung)

Finde natürliche Zahlen, die sich ganzzahlig vervielfachen,
wenn man jeweils das Paar aus ihren letzten beiden Ziffern
hinten entfernt und als neues erstes Ziffernpaar nach vorne verschiebt.
(siehe  LinkDoppelschiebequadruplierung)

Finde natürliche Zahlen, die sich ganzzahlig vervielfachen,
wenn man jeweils ihre erste Ziffer vorne entfernt
und als neue letzte Ziffer nach hinten verschiebt.

Finde natürliche Zahlen, die sich ganzzahlig vervielfachen,
wenn man jeweils das Paar aus ihren ersten beiden Ziffern
vorne entfernt und als neues letztes Ziffernpaar nach hinten verschiebt.

Finde natürliche Zahlen, die sich ganzzahlig vervielfachen,
wenn man jeweils ein Tupel aus ihren vordersten aufeinander folgenden
Ziffern vorne entfernt und als neues Tupel aufeinander folgender letzter
Ziffern nach hinten verschiebt. Oder eben anders herum.

Diesmal - zum "Abschluss der Reihe" - in offenem Diskurs
und mit der ausdrücklichen Aufforderung, "basteltechnische"
oder algebraische Lösungswege anzugeben etc. 😎

p.s.
Am Institut für intuitive Idiometrie fühlt sich dlchnr als bislang
einziger geometrischer Könner womöglich noch etwas einsam...


-----------------

ODERINT DUM NERVOS NE VEXENT!




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cramilu Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-05

Wer zu den ersten beiden "Folgen" der "Reihe" spicken mag:


Finde eine natürliche Zahl, die sich ganzzahlig vervielfacht,
wenn man ihre letzte Ziffer hinten entfernt
und als neue erste Ziffer nach vorne verschiebt.

Hier gibt es 36 grundsätzliche Lösungen.
Beliebig viele weitere entstehen dadurch, dass man die Ziffernfolge
einer bestimmten Lösung ihrerseits wiederum vervielfacht, also z.B.
\(102.564\: ×\:4\: =\:410.256\:\:\Rightarrow\:\:102.564.102.564\: ×\:4\: =\:410.256.410.256\)

Verdopplung:
acht 18-stellige Lösungen mit Endziffern "...2" bis "...9"
\(105.263.157.894.736.842\: ×\:2\: =\:210.526.315.789.473.684\)
\(157.894.736.842.105.263\: ×\:2\: =\:315.789.473.684.210.526\)
\(210.526.315.789.473.684\: ×\:2\: =\:421.052.631.578.947.368\)
\(263.157.894.736.842.105\: ×\:2\: =\:526.315.789.473.684.210\)
\(315.789.473.684.210.526\: ×\:2\: =\:631.578.947.368.421.052\)
\(368.421.052.631.578.947\: ×\:2\: =\:736.842.105.263.157.894\)
\(421.052.631.578.947.368\: ×\:2\: =\:842.105.263.157.894.736\)
\(473.684.210.526.315.789\: ×\:2\: =\:947.368.421.052.631.578\)

Verdreifachung:
sieben 28-stellige Lösungen mit Endziffern "...3" bis "...9"
\(1.034.482.758.620.689.655.172.413.793\)
 \(×\:3\: =\:3.103.448.275.862.068.965.517.241.379\)
\(1.379.310.344.827.586.206.896.551.724\)
 \(×\:3\: =\:4.137.931.034.482.758.620.689.655.172\)
\(1.724.137.931.034.482.758.620.689.655\)
 \(×\:3\: =\:5.172.413.793.103.448.275.862.068.965\)
\(2.068.965.517.241.379.310.344.827.586\)
 \(×\:3\: =\:6.206.896.551.724.137.931.034.482.758\)
\(2.413.793.103.448.275.862.068.965.517\)
 \(×\:3\: =\:7.241.379.310.344.827.586.206.896.551\)
\(2.758.620.689.655.172.413.793.103.448\)
 \(×\:3\: =\:8.275.862.068.965.517.241.379.310.344\)
\(3.103.448.275.862.068.965.517.241.379\)
 \(×\:3\: =\:9.310.344.827.586.206.896.551.724.137\)

Vervierfachung:
sechs 6-stellige Lösungen mit Endziffern "...4" bis "...9"
\(102.564\: ×\:4\: =\:410.256\)
\(128.205\: ×\:4\: =\:512.820\)
\(153.846\: ×\:4\: =\:615.384\)
\(179.487\: ×\:4\: =\:717.948\)
\(205.128\: ×\:4\: =\:820.512\)
\(230.769\: ×\:4\: =\:923.076\)

Verfünffachung:
eine 6-stellige und vier 42-stellige Lösungen mit Endziffern "...5" bis "...9"
\(102.040.816.326.530.612.244.897.959.183.673.469.387.755\)
 \(×\:5\: =\:510.204.081.632.653.061.224.489.795.918.367.346.938.775\)
\(122.448.979.591.836.734.693.877.551.020.408.163.265.306\)
 \(×\:5\: =\:612.244.897.959.183.673.469.387.755.102.040.816.326.530\)
\(142.857\: ×\:5\: =\:714.285\)
\(163.265.306.122.448.979.591.836.734.693.877.551.020.408\)
 \(×\:5\: =\:816.326.530.612.244.897.959.183.673.469.387.755.102.040\)
\(183.673.469.387.755.102.040.816.326.530.612.244.897.959\)
 \(×\:5\: =\:918.367.346.938.775.510.204.081.632.653.061.224.489.795\)

Versechsfachung:
vier 58[!]-stellige Lösungen mit Endziffern "...6" bis "...9"
\(1.016.949.152.542.372.881.355.932.203.389.830.508.474.576.271.186.440.677.966\)
 \(×\:6\: =\:6.101.694.915.254.237.288.135.593.220.338.983.050.847.457.627.118.644.067.796\)
\(1.186.440.677.966.101.694.915.254.237.288.135.593.220.338.983.050.847.457.627\)
 \(×\:6\: =\:7.118.644.067.796.610.169.491.525.423.728.813.559.322.033.898.305.084.745.762\)
\(1.355.932.203.389.830.508.474.576.271.186.440.677.966.101.694.915.254.237.288\)
 \(×\:6\: =\:8.135.593.220.338.983.050.847.457.627.118.644.067.796.610.169.491.525.423.728\)
\(1.525.423.728.813.559.322.033.898.305.084.745.762.711.864.406.779.661.016.949\)
 \(×\:6\: =\:9.152.542.372.881.355.932.203.389.830.508.474.576.271.186.440.677.966.101.694\)

Versiebenfachung:
drei 22-stellige Lösungen mit Endziffern "...7" bis "...9"
\(1.014.492.753.623.188.405.797\: ×\:7\: =\:7.101.449.275.362.318.840.579\)
\(1.159.420.289.855.072.463.768\: ×\:7\: =\:8.115.942.028.985.507.246.376\)
\(1.304.347.826.086.956.521.739\: ×\:7\: =\:9.130.434.782.608.695.652.173\)

Verachtfachung:
zwei 13-stellige Lösungen mit Endziffern "...8" und "...9"
\(1.012.658.227.848\: ×\:8\: =\:8.101.265.822.784\)
\(1.139.240.506.329\: ×\:8\: =\:9.113.924.050.632\)

Verneunfachung:
EINE 44-stellige Lösung mit Endziffer "...9"
\(10.112.359.550.561.797.752.808.988.764.044.943.820.224.719\)
 \(×\:9\: =\:91.011.235.955.056.179.775.280.898.876.404.494.382.022.471\)




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gonz Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-06

Ok, dann decken wir mal auf was wir haben :) Aber immer schön langsam und der Reihe nach, sozusagen wie für mich alles begann. Ich habe mit einer Methode angefangen, die man "im Kopf" durchspielen kann (sowas liebe ich ja) (Schlaflos in Wildemann).

PS.: Vorsicht, langatmige Beschreibung. Ggf. einfach nur einen ersten Eindruck mitnehmen :)


Nehmen wir an, wir suchen Zahlen, die nach dem Verschieben einer Ziffer von hinten nach vorne das doppelte ergeben - das wäre also die "Original Aufgabenstellung" von Radix.

So gibt es erstmal neun Möglichkeiten, welche Ziffer da verschoben wird (führende Nullen spielen nicht mit). Damit also Eins bis Neun, nehmen wir mal die Eins. Ich bezeichne die letzten Ziffern der Zahl schon einmal mit Buchstaben, und wir erhalten im ersten Schritt:

...xxcba1 x 2 =
1...xxcba

Daraus ist ersichtlich, dass a=2 sein muss, denn wir haben in der letzten Stelle eine 1 vor dem Multiplizieren und keinen Übertrag zu berücksichtigen. Damit sieht das Ganze dann so aus:

...xxcb21 x 2 =
1...yxcb2

und es ergibt sich zwanglos b=4.

...xxc421 x 2 =
1...xxc42

...xx8421 x 2 =
1...xx842

nun wird es ein klein wenig abwechslungsreicher, denn die 8 ergibt einen Übertrag, und "einen im Sinn" wären wir dann bei

...x68421 x 2 =
1...x6842

6x2+1 = 13, also drei hingeschrieben und wieder einen im Sinn.

...368421 x 2 =
1...36842

..7368421 x 2 =
1..736842

und so weiter.

Man sieht nun schon, dass das Verfahren abbrechen muss, denn wir haben ja nur zehn Ziffern (inkl. der Null) und zwei mögliche Überträge, nämlich 0 und 1. Wir kommen also in einen Zyklus.

Wenn jetzt eine Ziffer im Zyklus wieder vorkommt, und dabei kein Übertrag entsteht, können wir aufhören und haben eine Ziffernfolge gefunden, die für das Rätsel brauchbar ist.

Die von uns hier als Zwischenergebnis aufgefundene Folge 7368421 findet sich dann auch tatsächlich in den Zahlen, die auf dem "Spickzettel" unter "Verdoppelung" zu finden sind.


Soweit für heute, und natürlich auch, um die Mitstreiter anzuregen, etwas "aus dem Nähkästchen" zu plaudern :)

Mit bestem Dank nochmal an Radix und cramilu, die uns das Rätsel beschert haben :)

Grüße und habt einen schönen Tag
Gerhard/Gonz



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Kitaktus Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-08

Hier eine PN, die ich vor einiger Zeit zu dem Thema geschrieben habe:


Wir betrachten das Problem mal möglichst allgemein.
Zur Vereinfachung lassen wir im Folgenden führende Nullen zu.
Wir betrachten eine $b+a$-stellige Ziffernfolge aus Ziffern 0,1,...,9.
Die durch die hinteren $a$ Ziffern gebildete Zahl nennen wir $r$.
Die aus den anderen $b$ Ziffern gebildete Zahl nennen wir $s$.
Sei $k>0$ eine natürliche Zahl.

Wir fragen uns, unter welchen Voraussetzungen die Gleichung
(1) $k\cdot[sr]_{10}=[rs]_{10}$ gilt. (1) lässt sich schreiben als:
(2) $k(10^a\cdot s+r)=(10^b\cdot r+s)$ bzw.
(3) $(k\cdot 10^a-1)\cdot s=(10^b-k)\cdot r$
(4) $(k\cdot 10^a-1)\cdot 10^a\cdot s=(10^{a+b}-10^a\cdot k)\cdot r$
(6) $(k\cdot 10^a-1)\cdot (10^a\cdot s+r)=(10^{a+b}-1)\cdot r$

Wir betrachten $k$ und $a$ als Konstanten, $1\leq r<10^a$ als unabhängige Variable und $b$ und $s$ als abhängige Variablen.
Ist bei gegebenem $k$ und $a$ das Tupel $(b,r,s)$ eine Lösung von (3) (*), so ist für jede natürliche Zahl $c$ auch $(b,cr,cs)$ eine Lösung von (3).

Wir betrachten zunächst den Fall, dass $r$ teilerfremd zu $k\cdot 10^a-1$ ist.
Demnacht ist $k\cdot 10^a-1$ ein Teiler von $10^{a+b}-1$. Wir müssen also "nur" die (kleinste) Zahl $b>0$ bestimmen, für die $10^{a+b}\equiv 1$ mod $k\cdot 10^a-1$ ist (**).
Haben wir ein solches $b$ gefunden, dann können wir
(7) $10^a\cdot s+r=(10^{a+b}-1)\frac{r}{k\cdot 10^a-1}$ bestimmen.

Es lässt sich nachweisen, dass in diesem Fall $(10^{a+b}-1)\frac{r}{k\cdot 10^a-1}$ die Periode des Bruchs $\frac{r}{k\cdot 10^a-1}$ ist.

Sind $r$ und $k\cdot 10^a-1$ nicht teilerfremd, dann bleibt der beschriebene Ansatz erstmal korrekt. Es könnte aber ein kleineres $b'$ geben, für das $k\cdot 10^a-1$ ein Teiler von $(10^{a+b'}-1)r$.

Soviel erstmal dazu.

(*) Eine Lösung von (3) muss keine Lösung des Originalproblems sein, weil $s$ vielleicht gar nicht aus $b$ Ziffern besteht, oder $r$ nicht aus $a$ Ziffern.
(**) Für diese Frage gibt es zahlentheoretische Ansätze, die ich hier aber nicht ausführen möchte.



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cramilu Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 09.06.2019, Mitteilungen: 524, aus: Bierfranken
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-11

Einen schönen Sonntag!

Für "Neueinsteiger" beim Themenkreis könnten ein paar Gedanken als "Tipps" hilfreich sein...

Bei Vervielfachung mit Von-Hinten-Nach-Vorne-Verschieben einer Ziffer kann man zunächst überlegen, welche Endziffern für mögliche Lösungen infrage kommen:

Die "0" scheidet als Endziffer trivialerweise aus, denn würde sie nach vorne "wandern", hätte das Ergebnis eine maßgebliche Ziffer weniger. Möööp!

Bei gewünschter Verdopplung scheidet auch die "1" als Endziffer aus!
Käme sie nach vorne, so müsste hernach ihre Hälfte, also die Ausgangszahl, ihrerseits eine Stelle weniger aufweisen; die Hälfte einer mehrstelligen natürlichen Zahl, welche auf "1..." beginnt, hat schließlich immer eine Ziffer weniger!

Das lässt sich nun auf andere Vervielfachungen entsprechend ausweiten, und man kommt zu der Einsicht, dass mögliche Endziffern stets mindestens so groß sein müssen wie der angestrebte Vervielfachungsfaktor, also bei z.B. Versechsfachung mindestens "6"!

Nach solcherlei Erkenntnis kann man dann eine "Bastelei" beginnen, wie gonz sie bereits aufgezeigt hat:

Möchte man eine Zahl finden, welche sich durch den "Ziffern-Shift" verdoppelt und dabei eine "2" als Endziffer hat, so kann man sich jene durch schrittweise Multiplikation "von hinten her" erarbeiten:

[-]2
[-]42
[-]842
[1]6842
[1]36842
[-]736842
[1]4736842
[-]94736842
[1]894736842
[1]7894736842
[1]57894736842
[1]157894736842
[-]3157894736842
[-]63157894736842
[1]263157894736842 ; leider Restübertrag!
[-]5263157894736842
105263157894736842 (Lösung!)
>>> Falls sich "10", "20", "30", ... ergeben,
>>> wird der Übertrag "mitgenommen", sonst nicht!
210526315789473684
>>> FERTIG, weil die "2" ohne [Rest]Übertrag vorne steht!
>>> Die VORHERIGE Zahl, 105.263.157.894.736.842, ist dann eine Lösung!

Man schreibt zunächst die "2" hin und verdoppelt sie: "4". So muss die vorletzte Ziffer lauten. Für den nächsten Schritt hängt man die "2" wieder hinten dran. Es wird wieder verdoppelt, diesmal von "42" auf "84". Die "2" wird wiederum hinten angehängt. "842" verdoppelt sich zu "1684". Die "1" vorne als Übertrag wird ignoriert, weil wir die Ziffern der Reihe nach einzeln ermitteln möchten. Also "684" und wieder die "2" hinten dran: "6842". Erneute Verdopplung: "13684". Übertrag "1" ignorieren und "2" hinten dran: "36842". Und so fort. Stolperfalle: Wenn sich "vorne" beim Aufmultiplizieren ein "glatter Zehner", also "10", "20", "30" etc. ergibt, muss man ihn doch "mitnehmen"...
Beendet ist die "Bastelei", wenn sich "vorne" ohne Restübertrag die ausgängliche Endziffer ergibt; dann stehen in den letzten beiden Zeilen die Lösungszahl und ihre Verdopplung!

Zum "Üben" sei die Verachtfachung anempfohlen; entsprechend mit möglichen Endziffern "8" oder "9" ;)

Viel Vergnügen!


-----------------

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gonz Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 16.02.2013, Mitteilungen: 3685, aus: Harz
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-11

Danke für die Klarstellung @cramilu, ich war in meinem Post etwas "schlampig". Gehen wir einen Schritt weiter?

Mit der Terminologie von Kitaktus befinden wir uns ja im Fall a=1 sowie r und k einstellig mit r>=k. Die Bedingung

Wir betrachten zunächst den Fall, dass r teilerfremd zu k⋅10^a−1 ist.

liest sich also so:

für k=2 ist der Wert k*10^a-1 gleich 19, also prim, damit ist die Bedingung erfüllt.
für k=3 der Wert 29 ebenfalls.
für k=4 teilt r=3 den Wert 39, erfüllt aber nicht r>=k
für k=5 teilt r=7 den Wert 49.

Und damit bekommen wir in diesem Fall eine besondere Lösung, was sich in dem "Spickzettel" unter Verfünffachung mit

142857 x 5 = 714285

wiederfindet, und damit, wie ich in diesem Thread lernen durfte, zu einer ganz besonderen Zahl :)

Grüße und einen schönen Sonntag
wünscht
Gerhard/Gonz



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gonz Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 16.02.2013, Mitteilungen: 3685, aus: Harz
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-14

Guten Morgen :)

Die 142857 hat eine eigene Wikipediaseite... und wenn man will kann man das auch bei Numberphile ansehen:



Einen schönen Weg durch den Mittwoch wünscht -
Gerhard/Gonz

PS: @Kitaktus:
Magst du nicht doch ein paar Anhaltspunkte zu den "weiterführenden zahlentheoretischen Ansätzen" geben?






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cramilu Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-14

Guten Abend allerseits ;)

"Finde natürliche Zahlen, die sich ganzzahlig vervielfachen,
wenn man jeweils das Paar aus ihren letzten beiden Ziffern
hinten entfernt und als neues erstes Ziffernpaar nach vorne verschiebt."

Ich habe inzwischen - mutmaßlich alle - 360 Lösungen gefunden.

Neben den bereits erwähnten achtzig "Verdopplern" mit jeweils 99 Stellen befinden sich darunter auch fünfzig wahre "Monster", nämlich die Lösungen für Verfünffachung - mit jeweils stattlichen 498[!] Stellen...

Dazu einige detaillierte Einzelknobeleien:

Finde drei natürliche sechsstellige Zahlen, die sich verDREIfachen,
wenn man jeweils das Paar aus ihren letzten beiden Ziffern
hinten entfernt und als neues erstes Ziffernpaar nach vorne verschiebt.

Finde fünf natürliche 22-stellige Zahlen, die sich verDREIfachen,
wenn man jeweils das Paar aus ihren letzten beiden Ziffern
hinten entfernt und als neues erstes Ziffernpaar nach vorne verschiebt.

Finde eine natürliche 28-stellige Zahl, die sich verNEUNfacht,
wenn man jeweils das Paar aus ihren letzten beiden Ziffern
hinten entfernt und als neues erstes Ziffernpaar nach vorne verschiebt.

Finde eine natürliche 32-stellige Zahl, die sich verACHTfacht,
wenn man jeweils das Paar aus ihren letzten beiden Ziffern
hinten entfernt und als neues erstes Ziffernpaar nach vorne verschiebt.

Finde eine natürliche 46-stellige Zahl, die sich verACHTfacht,
wenn man jeweils das Paar aus ihren letzten beiden Ziffern
hinten entfernt und als neues erstes Ziffernpaar nach vorne verschiebt.

Finde die acht kleinsten natürlichen Zahlen, die sich vervielfachen,
wenn man jeweils das Tripel aus ihren letzten drei Ziffern
hinten entfernt und als neues erstes Zifferntripel nach vorne verschiebt.

Viel Vergnügen ;)


-----------------

ODERINT DUM NERVOS NE VEXENT!




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Bernhard Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 01.10.2005, Mitteilungen: 6335, aus: Merzhausen, Deutschland
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Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-14

2020-10-14 11:13 - gonz in Beitrag No. 6 schreibt:
Guten Morgen :)

Die 142857 hat eine eigene Wikipediaseite... und wenn man will kann man das auch bei Numberphile ansehen:



Einen schönen Weg durch den Mittwoch wünscht -
Gerhard/Gonz

Ja, die Periode bei der Teilung durch 7 hat es in sich. Das war die erste Zahlenfolge, die ich als Kind auswendig konnte - ich glaube noch vor unserer Telefonnummer. Weil sie einfach nicht kaputt zu kriegen ist - was man auch mit ihr anstellt.
Das hat mich schon damals wahnsinnig fasziniert.

Bernhard







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"Wichtig ist, daß man nie aufhört zu fragen"
"Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuches, sie zu erwerben"
Albert Einstein



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thureduehrsen Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-15
\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
2020-10-14 23:17 - Bernhard in Beitrag No. 8 schreibt:
Weil sie einfach nicht kaputt zu kriegen ist - was man auch mit ihr anstellt.

\[142857:2=71428.5\quad😎\]
mfg
thureduehrsen


-----------------
sammeltlemmas.blogspot.de/

https://www.informatik.uni-kiel.de/~tdu/
\(\endgroup\)


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Kitaktus Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-15

2020-10-14 11:13 - gonz in Beitrag No. 6 schreibt:
PS: @Kitaktus:
Magst du nicht doch ein paar Anhaltspunkte zu den "weiterführenden zahlentheoretischen Ansätzen" geben?
Ich bin doch kein Zahlentheoretiker, aber ich versuche es mal.
Es geht im Kern um die Frage, welche kleinste positive Lösung $c$ die Gleichung $10^c\equiv 1$ (mod m) hat.

Ist m zu 10 teilerfremd (was hier für a>0 immer der Fall ist, so ist eine Lösung der Gleichung bekannt. Der Satz von Euler sagt uns, dass $10^{\varphi(m)}\equiv 1$ (mod m) gilt [$\varphi(.)$ - eulersche Phi-Funktion]. In einigen Fällen ist das bereits die kleinste Lösung. Das sind die Fälle
$k=2, m=19, \varphi(m)=18$
$k=3, m=29, \varphi(m)=28$
$k=5, m=49, \varphi(m)=42$ (allgemeiner Fall)
$k=6, m=59, \varphi(m)=58$
In anderen Fällen ist $c$ ein echter Teiler von $\varphi(m)$:
$k=4, m=39, \varphi(m)=24, c=6$
$k=5, m=39, \varphi(m)=24, c=6$ (spezieller Fall)
$k=7, m=69, \varphi(m)=44, c=22$
$k=8, m=79, \varphi(m)=78, c=13$
$k=9, m=89, \varphi(m)=88, c=44$

Aus Zahlentheoretischer Sicht sieht das so aus:
Sei G die multiplikative Gruppe aller zu m teilerfremden Restklassen, so ist $\varphi(m)$ die Gruppenordnung von G (also die Anzahl der Elemente von G). Das gesuchte $c$ ist die Ordnung von 10 und es gilt der Satz: Die Ordnung jedes Elementes teilt die Gruppenordnung.
Ob es ein einfaches Verfahren gibt, um die Ordnung von 10 für gegebenes m zu bestimmen, weiß ich nicht.



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cramilu Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18

@gonz:
Hast Du den lösungstechnischen "Bauerntrick" inzwischen gefunden?
Falls nicht: Gerne per PM/PN ;)

@Kitaktus:
Deinem Ansatz mit der Eulerschen Phi-Funktion ("Totient") war auch ich schon nachgegangen... Bislang immer noch nicht befriedigend...

Ich baue im folgenden mal Deine vorherige Liste aus.
Meine Nomenklatur weicht allerdings etwas ab:

\(z\)   Anzahl zu verschiebender Ziffern
\(f\)   beabsichtigter Vervielfachungsfaktor
\(l\: =\: (10\, -\, f)\,\cdot\,10^{(z-1)}\)   Anzahl Lösungen
\(d\: =\: f\,\cdot\,10^z\, -\,1\)   [korrigiert]   "Diskriminantum"
\(c\)   Stellenzahl der Mehrzahl an Lösungen
\(\phi (d)\)   Eulersche Phi-Funktion / "Totient" von \(d\)
\(\mu (d)\)   größter Primfaktor von \(d\)

\(z=1\) ; \(f=2\) ; \(l=8\) ; \(d=19\: prim\) ; \(c=18\) ; \(\phi (d)=18\)
\(z=1\) ; \(f=3\) ; \(l=7\) ; \(d=29\: prim\) ; \(c=28\) ; \(\phi (d)=28\)
\(z=1\) ; \(f=4\) ; \(l=6\) ; \(d=39\) ; \(c=6\) ; \(\phi (d)=24\) ; \(\mu (d)=13\) ; \(\phi (\mu (d))=12\)
\(z=1\) ; \(f=5\) ; \(l=5\) ; \(d=49\) ; \(c=42\) ; \(\phi (d)=42\) ; \(\mu (d)=7\) ; \(\phi (\mu (d))=6\)
\(z=1\) ; \(f=6\) ; \(l=4\) ; \(d=59\: prim\) ; \(c=58\) ; \(\phi (d)=58\)
\(z=1\) ; \(f=7\) ; \(l=3\) ; \(d=69\) ; \(c=22\) ; \(\phi (d)=44\) ; \(\mu (d)=23\) ; \(\phi (\mu (d))=22\)
\(z=1\) ; \(f=8\) ; \(l=2\) ; \(d=79\: prim\) ; \(c=13\) ; \(\phi (d)=78\)
\(z=1\) ; \(f=9\) ; \(l=1\) ; \(d=89\: prim\) ; \(c=44\) ; \(\phi (d)=88\)

\(z=2\) ; \(f=2\) ; \(l=80\) ; \(d=199\: prim\) ; \(c=99\) ; \(\phi (d)=198\)
\(z=2\) ; \(f=3\) ; \(l=70\) ; \(d=299\) ; \(c=66\) ; \(\phi (d)=264\) ; \(\mu (d)=23\) ; \(\phi (\mu (d))=22\)
\(z=2\) ; \(f=4\) ; \(l=60\) ; \(d=399\) ; \(c=18\) ; \(\phi (d)=198\) ; \(\mu (d)=19\) ; \(\phi (\mu (d))=18\)
\(z=2\) ; \(f=5\) ; \(l=50\) ; \(d=499\: prim\) ; \(c=498\) ; \(\phi (d)=498\)
\(z=2\) ; \(f=6\) ; \(l=40\) ; \(d=599\: prim\) ; \(c=299\) ; \(\phi (d)=598\)
\(z=2\) ; \(f=7\) ; \(l=30\) ; \(d=699\) ; \(c=232\) ; \(\phi (d)=464\) ; \(\mu (d)=233\) ; \(\phi (\mu (d))=232\)
\(z=2\) ; \(f=8\) ; \(l=20\) ; \(d=799\) ; \(c=368\) ; \(\phi (d)=736\) ; \(\mu (d)=47\) ; \(\phi (\mu (d))=46\)
\(z=2\) ; \(f=9\) ; \(l=10\) ; \(d=899\) ; \(c=420\) ; \(\phi (d)=840\) ; \(\mu (d)=31\) ; \(\phi (\mu (d))=30\)

\(z=3\) ; \(f=2\) ; \(l=800\) ; \(d=1.999\: prim\) ; \(c=999\) ; \(\phi (d)=1.998\)
\(z=3\) ; \(f=3\) ; \(l=700\) ; \(d=2.999\: prim\) ; \(c=1.499\) ; \(\phi (d)=2.998\)
\(z=3\) ; \(f=4\) ; \(l=600\) ; \(d=3.999\) ; \(c=105\) ; \(\phi (d)=2.520\) ; \(\mu (d)=43\) ; \(\phi (\mu (d))=42\)
\(z=3\) ; \(f=5\) ; \(l=500\) ; \(d=4.999\: prim\) ; \(c=357\) ; \(\phi (d)=4.998\)
\(z=3\) ; \(f=6\) ; \(l=400\) ; \(d=5.999\) ; \(c=2.568\) ; \(\phi (d)=5.136\) ; \(\mu (d)=857\) ; \(\phi (\mu (d))=856\)
\(z=3\) ; \(f=7\) ; \(l=300\) ; \(d=6.999\) ; \(c=583\) ; \(\phi (d)=4.664\) ; \(\mu (d)=2.333\) ; \(\phi (\mu (d))=2.332\)
\(z=3\) ; \(f=8\) ; \(l=200\) ; \(d=7.999\) ; \(c=1.260\) ; \(\phi (d)=7.560\) ; \(\mu (d)=421\) ; \(\phi (\mu (d))=420\)
\(z=3\) ; \(f=9\) ; \(l=100\) ; \(d=8.999\: prim\) ; \(c=4.499\) ; \(\phi (d)=8.998\)

Sonderfälle:

\(z=1\) ; \(f=5\) ; \(l=5\) ; \(d=49\) ; \(c=42\)
EINE der Lösungen (142.857) hat bloß [reduzierte] 6 Stellen.

\(z=2\) ; \(f=3\) ; \(l=70\) ; \(d=299\) ; \(c=66\)
DREI der Lösungen haben bloß [reduzierte] 6 Stellen.
FÜNF der Lösungen haben bloß [reduzierte] 22 Stellen.

\(z=2\) ; \(f=4\) ; \(l=60\) ; \(d=399\) ; \(c=18\)
DREI der Lösungen haben bloß [reduzierte] 6 Stellen.

\(z=2\) ; \(f=8\) ; \(l=20\) ; \(d=799\) ; \(c=368\)
EINE der Lösungen hat bloß [reduzierte] 32 Stellen.
EINE der Lösungen hat bloß [reduzierte] 46 Stellen.

\(z=2\) ; \(f=9\) ; \(l=10\) ; \(d=899\) ; \(c=420\)
EINE der Lösungen hat bloß [reduzierte] 28 Stellen.

\(z=3\) ; \(f=4\) ; \(l=600\) ; \(d=3.999\) ; \(c=105\)
14 Stück der Lösungen haben bloß [reduzierte] 15 Stellen.
20 Stück der Lösungen haben bloß [reduzierte] 21 Stellen.

\(z=3\) ; \(f=6\) ; \(l=400\) ; \(d=5.999\) ; \(c=2.568\)
EINE der Lösungen (142.857) hat bloß [reduzierte] 6 Stellen.

\(z=3\) ; \(f=8\) ; \(l=200\) ; \(d=7.999\) ; \(c=1.260\)
EINE der Lösungen hat bloß [reduzierte] 18 Stellen.
ZEHN der Lösungen haben "bloß" [reduzierte] 140 Stellen.

Bei den Sonderfällen sind  \(d\)  und die Zahl aus der verschobenen Ziffernfolge
auf spezielle Art nicht teilerfremd...



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cramilu Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21

Mahlzeit ;)

Im folgenden die Lösungsliste zur vorherigen Knobelei LinkDoppelschiebequadruplierung
wie dort versprochen - wrdlprmpfd hatte sie als einziger [auch] vollständig.

cramilu schreibt:
Finde weitere natürliche Zahlen, die sich verVIERfachen, wenn man jeweils das Paar aus ihren letzten beiden Ziffern hinten entfernt und als neues erstes Ziffernpaar nach vorne verschiebt.
\(142.857.142.857\) ist dabei selbstverständlich zu trivial!


"Diskriminantum" (siehe vorheriger Beitrag)   \(d\: =\: f\,\cdot\,10^z\, -\,1\: =\:399\)

Welche um  \(1\)  verminderte Zehnerpotenz lässt sich ganzzahlig durch  \(d\, =\,399\)  teilen?
Probieren...   \(\frac{10^{18}\, -\,1}{399}\: =\:2.506.265.664.160.401\)

Lösungen sind demnach   \(k\,\cdot\,2.506.265.664.160.401\)   mit   \(40\,\leq\, k\in\mathbb{N}\,\leq\, 99\)

\(\underline{40}\, ×\,2.506.265.664.160.401\: =\:100.250.626.566.416.0\underline{40}\)
\(\Rightarrow\:\:4\, ×\,100.250.626.566.416.0\underline{40}\: =\:\underline{40}1.002.506.265.664.160\) ; passt

Entsprechend für Endziffern "\(...41\)" bis "\(...99\)":

\(102.756.892.230.576.4\underline{41}\)
\(105.263.157.894.736.8\underline{42}\)
\(107.769.423.558.897.2\underline{43}\)
\(110.275.689.223.057.6\underline{44}\)
\(112.781.954.887.218.0\underline{45}\)
\(115.288.220.551.378.4\underline{46}\)
\(117.794.486.215.538.8\underline{47}\)
\(120.300.751.879.699.2\underline{48}\)
\(122.807.017.543.859.6\underline{49}\)
\(125.313.283.208.020.0\underline{50}\)
\(127.819.548.872.180.4\underline{51}\)
\(130.325.814.536.340.8\underline{52}\)
\(132.832.080.200.501.2\underline{53}\)
\(135.338.345.864.661.6\underline{54}\)
\(137.844.611.528.822.0\underline{55}\)
\(140.350.877.192.982.4\underline{56}\)

\(4\, ×\,142.857.142.857.142.8\underline{57}\: =\) ... HALT !!!
Stellenzahl wegen Periodizität reduzieren:   \(4\, ×\,142.8\underline{57}\: =\:\underline{57}1.428\)

\(145.363.408.521.303.2\underline{58}\)
\(147.869.674.185.463.6\underline{59}\)
\(150.375.939.849.624.0\underline{60}\)
\(152.882.205.513.784.4\underline{61}\)
\(155.388.471.177.944.8\underline{62}\)
\(157.894.736.842.105.2\underline{63}\)
\(160.401.002.506.265.6\underline{64}\)
\(162.907.268.170.426.0\underline{65}\)
\(165.413.533.834.586.4\underline{66}\)
\(167.919.799.498.746.8\underline{67}\)
\(170.426.065.162.907.2\underline{68}\)
\(172.932.330.827.067.6\underline{69}\)
\(175.438.596.491.228.0\underline{70}\)
\(177.944.862.155.388.4\underline{71}\)
\(180.451.127.819.548.8\underline{72}\)
\(182.957.393.483.709.2\underline{73}\)
\(185.463.659.147.869.6\underline{74}\)
\(187.969.924.812.030.0\underline{75}\)

\(4\, ×\,190.476.190.476.190.4\underline{76}\: =\) ... HALT !!!
Stellenzahl wegen Periodizität reduzieren:   \(4\, ×\,190.4\underline{76}\: =\:\underline{76}1.904\)

\(192.982.456.140.350.8\underline{77}\)
\(195.488.721.804.511.2\underline{78}\)
\(197.994.987.468.671.6\underline{79}\)
\(200.501.253.132.832.0\underline{80}\)
\(203.007.518.796.992.4\underline{81}\)
\(205.513.784.461.152.8\underline{82}\)
\(208.020.050.125.313.2\underline{83}\)
\(210.526.315.789.473.6\underline{84}\)
\(213.032.581.453.634.0\underline{85}\)
\(215.538.847.117.794.4\underline{86}\)
\(218.045.112.781.954.8\underline{87}\)
\(220.551.378.446.115.2\underline{88}\)
\(223.057.644.110.275.6\underline{89}\)
\(225.563.909.774.436.0\underline{90}\)
\(228.070.175.438.596.4\underline{91}\)
\(230.576.441.102.756.8\underline{92}\)
\(233.082.706.766.917.2\underline{93}\)
\(235.588.972.431.077.6\underline{94}\)

\(4\, ×\,238.095.238.095.238.0\underline{95}\: =\) ... HALT !!!
Stellenzahl wegen Periodizität reduzieren:   \(4\, ×\,238.0\underline{95}\: =\:\underline{95}2.380\)

\(240.601.503.759.398.4\underline{96}\)
\(243.107.769.423.558.8\underline{97}\)
\(245.614.035.087.719.2\underline{98}\)

\(\underline{99}\, ×\,2.506.265.664.160.401\: =\:248.120.300.751.879.6\underline{99}\)
\(\Rightarrow\:\:4\, ×\,248.120.300.751.879.6\underline{99}\: =\:\underline{99}2.481.203.007.518.796\)

Und was hat es nun mit den drei reduziblen Lösungen auf sich?

"Diskriminantum" (siehe oben)   \(d\: =\: f\,\cdot\,10^z\, -\,1\: =\:399\: =\:3\, ×\,7\, ×\,19\)
Alle durch den größten Primfaktor  \(19\)  des "Diskriminantums"  \(d\)
teilbaren  \(k\)  - \(\underline{57}\), \(\underline{76}\) und \(\underline{95}\) - führen hier zu reduziblen Lösungen!

Probe bzw. "Bauerntrick":
Man betrachte die Bruchperioden der Brüche   \(\frac{40}{399}\), \(\frac{41}{399}\), \(\frac{42}{399}\), ... \(\frac{99}{399}\)   😎



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