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Universität/Hochschule J Lineare Unabhängigkeit
Sandrob Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-05
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Guten Abend liebe Forumsmitglieder,

In der linearen Algebra wird der Begriff der linearen Unabhängigkeit ja wie folgt definiert:

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine endliche Familie $(v_1,\dots ,v_n)$ von Vektoren aus $V$ heisst linear unabhängig, falls gilt: Sind $\lambda_1,\dots \lambda_n \in K$ und ist $\lambda_1 v_1 +\dots \lambda_n v_n=0$, so folgt $\lambda_1=\dots \lambda_n=0$.

In einem Beweis für direkte Summen wird der Begriff der linearen Unabhängigkeit benötigt. Konkret geht es um folgendes Lemma:

Ist $V=W_1+W_2$, so sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
$(i):W_1\cap W_2 = \{0\}$
$(ii):$Zwei von Null verschiedene Vektoren $w_1\in W_1$ und $w_2\in W_2$ sind linear unabhängig.

Der Beweis $(i)\Rightarrow(ii)$ ist mir klar. Nun aber bei der umgekehrten Richtung wird argumentiert, dass falls $0\neq v\in W_1\cap W_2$, so erhält man einen Widerspruch zu $(ii)$ durch $1v+(-1)v=0$. Nun ist mir hier aber unklar, wieso wir zwei Mal den Vektor $v$ verwenden dürfen, da sonst ja eigentlich jede beliebige Familie linear abhängig wäre, weil man den Nullvektor darstellen könnte als Linearkombination aus einem belieben Vektor der Familie plus minus diesen selben Vektor.

Versteht ihr mein Problem?
\(\endgroup\)


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traveller Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-05
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo,

Man nimmt jeden Vektor aus $(v_1,\dots ,v_n)$ genau einmal, um damit die Gleichung
$$\lambda_1 v_1 +\dots \lambda_n v_n=0$$ aufzustellen. Falls jetzt tatsächlich für $i\neq j$ gilt, dass $v_i=v_j$, dann hast du recht und die Familie ist nicht linear unabhängig.

In deinem speziellen Beispiel betrachten wir die Familie $(w_1,w_2)$ und
$$\lambda_1 w_1+\lambda_2 w_2=0\enspace.$$ Wir nehmen also jeden Vektor aus dieser Familie genau einmal. Es kann natürlich aber sein, dass $w_1=w_2$ gilt, und dann ist diese Familie nicht linear unabhängig.

Im Gegensatz zu einer Menge darf in einer Familie dasselbe Element mehrfach vorkommen!
\(\endgroup\)


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Sandrob Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21

Entschuldigung für meine sehr späte Antwort!

Deine Erklärung hat mir nun aber Licht ins Dunkle gebracht und ich verstehe meinen Denkfehler, danke vielmals😄



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