| |
| Autor |
  Gleichungssystem hinsichtlich eindeutiger Auflösbarkeit |
|
Quotenbanane
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.09.2018
Mitteilungen: 120
 |  Themenstart: 2020-10-06
|
Hallo!
Ich hätte ein reelles Gleichungssystem gegeben...
$$ f_1(x,y_1,y_2) = x^3+y_1^3+y_2^3-7=0 \\ f_2(x,y_1,y_2)= xy_1+y_1y_2+y_2x+2=0$$
und die Nullstelle (2,-1,0)
Nun soll ich "hinsichtlich der eindeutigen Auflösbarkeit nach $y_1, y_2$" untersuchen.
Wie genau stellt man das an?
Ich habe die starke Vermutung, dass ich hier mit dem Satz von der Impliziten Funktion arbeiten soll.
Für diesen gibt es ja 3 Voraussetzungen...
1. die Funktionen sind stetig differenzierbar (offenbar wahr)
2. die Funktionen haben dieselbe Nullstelle (gegeben)
3. die Determinante der Jacobi-Matrix der aufzulösenden Variablen an der Nullstelle ist ungleich 0 (= invertierbar)
Die Matrix wäre dann...
$$ \frac{\partial(f_1,f_2)}{\partial(y_1, y_2)} = \left( \begin{array}{rrrr}
3y_1^2 & 3y_2^2 \\
x+y_2 & y_1+x \\
\end{array}\right) $$
Damit für (2,-1,0)...
$$ = \det(\left( \begin{array}{rrrr}
3 & 0 \\
2 & 1 \\
\end{array}\right)) = 3$$
Der Satz gilt also. Somit folgt: $\exists g_1, g_2$, sodass $g_1(x)=y_1$ bzw. $g_2(x)=y_2$
Reicht das jetzt so oder muss ich da mehr (bzw. was ganz anderes) machen?
Danke für eure Antworten 😄
|
 Profil
|
Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2570
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-06
|
Huhu Quotenbanane,
ich habe es nun nicht nachgerechnet, aber vom Vorgehen her ist es der richtige Weg - ja.
Gruß,
Küstenkind
|
Profil
|
Quotenbanane
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 27.09.2018
Mitteilungen: 120
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-06
|
Sehr schön!
Aber mehr kann ich nicht machen, oder? Also ich kann jetzt keine konkrete Funktion für g1, g2 angeben, nicht?
Danke und LG 🙂
|
Profil
|
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2570
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-06
|
Nun - was man machen soll, steht ja in der Aufgabe. Wenn es nur um Auflösbarkeit geht bist du doch fertig. Oftmals soll auch noch eine Ableitung bestimmt werden bei solchen Aufgaben, z.B.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=247455
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=248676
dort. Was du nun noch machen sollst, das müsstest du wissen.
Gruß,
Küstenkind
|
Profil
|
Quotenbanane hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Quotenbanane hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
