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Universität/Hochschule J Euklidische Bewegung
BenF
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-06


Liebe Helfer,

bei dieser Aufgabe finde ich keinen Ansatz:

Seien G1={x,y E R2|x-2y=3} und G2={x,y E R2|x+y=0}.
Weiter gebe es eine euklidische Bewegung mit f(G1)=G2, f(G2)=G1.
a) Begründen Sie, dass f einen Fixpunkt hat
b) Untersuchen Sie, ob es sich um eine Drehung, Translation, ... handelt.

Ich finde keinen Ansatz.
Meine Überlegungen:
-Zwei Geraden sollen mit auf einander abgebildet werden.
-Ein möglicher Fixpunkt wäre dann der Schnittpunkt. Die Bewegung eine Drehung. Möglich wäre auch eine Gleitspiegelung an einer zu bestimmenden Achse.

Oder renne ich da in die vollkommen falsche Richtung?

Wie kann ich vorgehen?
Wie lautet die darstellende Matrix?

Vielen Dank im Voraus!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-06


Hallo und willkommen hier im Forum!

Vorneweg: was genau verstehst du unter einer Euklidischen Bewegung?

Auf der verlinkten Seite wird ja deutlich, dass man im engeren Sinn nur Transformationen darunter versteht, die auch die Orientierung erhalten. Damit würden Spiegelungen jeder Art entfallen.

Auf der anderen Seite könnte man natürlich eine Gerade per Gleitspiegelung auf eine andere Gerade abbilden. Diese Abbildung hätte dann aber eben gerade keinen Fixpunkt.

Insofern vermut ich mal, dass nur Translationen und Rotationen gemeint sind. Und deine Überlegung mit der Drehung wäre genau die richtige.


Gruß, Diophant



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BenF
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-06


Mit einer euklidische Bewegung ist hier eine Bewegung im euklidischen Raum gemeint.
Wenn meine Überlegungen richtig sind: wie kann ich diese mathematisch darstellen. Wie lautet die darstellende Matrix von f?
Oder wie ermittelt man diese?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ich hatte in der Aufgabenstellung vorhin etwas überlesen (sorry). Aus \(f(G_1)=G_2\) und \(f(G_2)=G_1\) folgt ja hier, dass es eine Spiegelung sein muss. Also stimmt deine Überlegung mit der Drehung nicht (das würde ja nur mit einem Drehwinkel von 180° klappen, also wenn die beiden Geraden parallel wären).

Insofern mache mal folgendes:

- verschiebe die Ebene so, dass der Schnittpunkt im Ursprung liegt
- Spiegle an einer geeigneten Achse (Stichwort: Winkelhalbierende)
- verschiebe anschließend zurück.

Für jede dieser drei Bewegungen lässt sich eine Matrix aufstellen. Die Spiegelung könntest du noch weiter zerlegen in

- eine Drehung, so dass die Spiegelachse eine der beiden Koordinatenachsen ist
- die Spiegelung
- eine Drehung zurück.

Wie man eine Komposition solcher Bewegungen respektive zugehöriger Abbildungsmatrizen realisiert, ist dir klar?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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BenF
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-06


Danke für die schnelle Hilfe.
Damit ist alles klar!

Grüße!



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