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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Körpermonomorphismen
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Universität/Hochschule J Körpermonomorphismen
Drumbene91
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  Themenstart: 2020-10-17

Hallo zusammen, ich hätte eine Verständnisfrage zum Thema Körpermonomorphismen, in unserem Skript steht: \ Seien K,L,M Körper, L//K sei eine endliche Körpererweiterung und M//L sei eine Körpererweiterung. Da L// K endlich ist, können wir als K(\alpha_1,...,\alpha_n) schreiben für \alpha_i \in L geeignet. Ein Körpermonomorphismus \phi: L -> M mit \phi eingeschränkt auf K = id_K ist dann durch die Bilder der \alpha_i eindeutig festgelegt. Meine Frage dazu: Kann ich hier mit dem Existenz und Eindeutigkeitssatz für lineare Abbildungen argumentieren? Es handelt sich bei \phi ja um eine K-lineare Abbildung zwischen zwei K - Vektorräumen, dazu bräuchte ich aber, dass die \alpha_i eine Basis bilden, und mir ist nicht ganz klar, ob das immer richtig ist, gilt das bspsweise auch, wenn L der Zerfällungskörper eine irreduziblen Polynoms aus K ist? LG


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-17

Die $\alpha_i$ bilden keine $K$-Basis. Schaue dir Beispiele an. Was du aber aus der linearen Algebra weist, kannst du hier analog auch für Körper beweisen. Beachte, dass jedes Element von $K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)$ ein Polynom mit Koeffizienten aus $K$ und Variablen $\alpha_1,\dotsc,\alpha_n$ ist. Aber $K$-Homomorphismen sind gerade so definiert, dass sie Polynome erhalten. Du kannst den Beweis mechanisch hinschreiben (siehe hier, was ich damit meine).


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Drumbene91
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17

\ Hallo, danke für deine Antwort! Ja stimmt, zB. für \IQ(2^(1/4),i) bilden die beiden Elemente 2^(1/4) und i keine \IQ Basis für \IQ(2^(1/4),i) . Zu der anderen Aussage, ich versuche es mal so: Seien \phi_1 und \phi_2 zwei Körpermonomorphismen von L=K(\alpha_1,...,\alpha_n)->M mit der Eigenschaft \phi_1 eingeschränkt auf K und \phi_2 eingeschränkt auf K jeweils die Identität auf K und \phi_1(\alpha_i)=\phi_2(\alpha_i) für alle i=1,..n. Dann gilt für alle f= sum(a_k \alpha^k,k=1,n) \in K(\alpha_1,...,\alpha_n): \phi_1 (f)= \phi_1 ( sum(a_k \alpha^k,k=1,n))= sum(\phi_1(a_k \alpha^k),k=1,n)=sum(\phi_1(a_k) \phi_1( \alpha^k),k=1,n)= sum(a_k \phi_1( \alpha^k),k=1,n)= sum(a_k \phi_2( \alpha^k),k=1,n)= sum(\phi_2(a_k) \phi_2( \alpha^k),k=1,n)=sum(\phi_2(a_k \alpha^k),k=1,n))= \phi_2 ( sum(a_k \alpha^k,k=1,n))= \phi_2 (f), aufgrund der K-Linearität von \phi_1 und \phi_2, damit stimmen die beiden Abbildungen also überein. Hattest du es so gemeint ? LG


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-17

Das geht so nicht. Was ist denn $\alpha$? Ein Polynom in einer Variablen reicht nicht. Die Elemente von $K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)$ haben die Form $\displaystyle \sum_{k_1,\dotsc,k_n \geq 0} u_{k_1,\dotsc,k_n} \cdot \alpha_1^{k_1} \cdots \alpha_n^{k_n}$ mit $u_{k_1,\dotsc,k_n} \in K$. Nun starte damit den Beweis. Dein Beweis kann auch nicht nur darin bestehen, die $K$-Linearität auszunutzen. Du musst benutzen, dass es sich um einen Körperhomomorphismus handelt. Insbesondere ist die Multiplikativität auszunutzen.


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Drumbene91
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18

Ja das macht so keinen Sinn, ich versuche es erneut, schreibe es sauber auf und melde mich nochmals! danke dir!


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-18

Kein Problem. Übrigens habe ich oben bereits eine Vereinfachung vorgenommen, die nur erlaubt ist, weil die Erweiterung endlich und damit die $\alpha_i$ algebraisch über $K$ sind. Denn im allgemeinen Fall besteht $K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)$ aus Brüchen von Polynomen wie oben. Aber weil Körperhomomorphismen Brüche erhalten (ich meine damit die Gleichung $\varphi(x/y) = \varphi(x)/\varphi(y)$), ist dieser allgemeine Fall nicht unbedingt schwieriger zu beweisen. Wenn die $\alpha_i$ wie in deinem Fall algebraisch sind, hat man die Gleichung $K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n) = K[\alpha_1,\dotsc,\alpha_n]$, und $K[\alpha_1,\dotsc,\alpha_n]$ (der kleinste Unterring, der $K$ und die $\alpha_i$ enthält) besteht einfach aus Polynomen.


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Drumbene91
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

Hallo, ich habe es noch einmal versucht, hoffe es passt so! LG $$\text{ Sei f } \in K(\alpha_1,...,\alpha_n). \text {Dann ist f von der Form } $$ $$f= \sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n}\text{ mit } u_{k_1,...,k_n} \in K \text { und } k_1,...,k_n \in \mathbb{N}.$$ $$ \text{ Seien nun } \phi_1 \text{ und } \phi_2 \text{ zwei Körperhomomorphismen von }$$ $$L = K(\alpha_1,..., \alpha_n) \rightarrow M \ \text{mit der Eigenschaft }\phi_1 \mid_K = id_K \text{ und } \phi_2 \mid_ K = id_K$$ $$\text{ Außerdem gelte } \phi_1(\alpha_i)=\phi_2(\alpha_i)\text{ } \forall i=1,...,n$$ $$\text{ Dann gilt: }$$ $$ \phi_1 (f)= \phi_1(\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})=\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}\phi_1(u_{k_1,...,k_n}\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})=$$ $$\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}\phi_1(u_{k_1,...,k_n})\phi_1(\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})=\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\phi_1(\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})$$ $$\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\phi_1(\alpha_1^{k_1})...\phi_1(\alpha_n^{k_n})=\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\phi_1(\alpha_1)^{k_1}...\phi_1(\alpha_n)^{k_n}=$$ $$\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\phi_2(\alpha_1)^{k_1}...\phi_2(\alpha_n)^{k_n}=\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\phi_2(\alpha_1^{k_1})...\phi_2(\alpha_n^{k_n})$$ $$\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\phi_2(\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})=\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}\phi_2(u_{k_1,...,k_n})\phi_2(\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})=$$ $$\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}\phi_2(u_{k_1,...,k_n}\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})= \phi_2(\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})= \phi_2 $$ $$ \Longrightarrow \phi_1 =\phi_2 $$


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Drumbene91
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

grade gesehen: in er vorletzten Zeile sollte natürlich \phi_2(f) stehen!


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Triceratops
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  Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-25

Es fehlen ein paar $=$ Ansonsten ist es richtig. 👍


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Drumbene91
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

Alles klar, Danke :)


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