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Mathematik » Strukturen und Algebra » Körpermonomorphismen
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Universität/Hochschule Körpermonomorphismen
Drumbene91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-17 11:01


Hallo zusammen, ich hätte eine Verständnisfrage zum Thema Körpermonomorphismen, in unserem Skript steht:
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LG



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-17 14:15


Die $\alpha_i$ bilden keine $K$-Basis. Schaue dir Beispiele an.

Was du aber aus der linearen Algebra weist, kannst du hier analog auch für Körper beweisen. Beachte, dass jedes Element von $K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)$ ein Polynom mit Koeffizienten aus $K$ und Variablen $\alpha_1,\dotsc,\alpha_n$ ist. Aber $K$-Homomorphismen sind gerade so definiert, dass sie Polynome erhalten. Du kannst den Beweis mechanisch hinschreiben (siehe hier, was ich damit meine).



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Drumbene91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17 15:01



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Hattest du es so gemeint ?
LG



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-17 19:30


Das geht so nicht. Was ist denn $\alpha$? Ein Polynom in einer Variablen reicht nicht. Die Elemente von $K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)$ haben die Form

$\displaystyle \sum_{k_1,\dotsc,k_n \geq 0} u_{k_1,\dotsc,k_n} \cdot \alpha_1^{k_1} \cdots \alpha_n^{k_n}$

mit $u_{k_1,\dotsc,k_n} \in K$. Nun starte damit den Beweis.

Dein Beweis kann auch nicht nur darin bestehen, die $K$-Linearität auszunutzen. Du musst benutzen, dass es sich um einen Körperhomomorphismus handelt. Insbesondere ist die Multiplikativität auszunutzen.



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Drumbene91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18 00:31


Ja das macht so keinen Sinn, ich versuche es erneut, schreibe es sauber auf und melde mich nochmals!
danke dir!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-18 01:54


Kein Problem.

Übrigens habe ich oben bereits eine Vereinfachung vorgenommen, die nur erlaubt ist, weil die Erweiterung endlich und damit die $\alpha_i$ algebraisch über $K$ sind. Denn im allgemeinen Fall besteht $K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)$ aus Brüchen von Polynomen wie oben. Aber weil Körperhomomorphismen Brüche erhalten (ich meine damit die Gleichung $\varphi(x/y) = \varphi(x)/\varphi(y)$), ist dieser allgemeine Fall nicht unbedingt schwieriger zu beweisen. Wenn die $\alpha_i$ wie in deinem Fall algebraisch sind, hat man die Gleichung $K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n) = K[\alpha_1,\dotsc,\alpha_n]$, und $K[\alpha_1,\dotsc,\alpha_n]$ (der kleinste Unterring, der $K$ und die $\alpha_i$ enthält) besteht einfach aus Polynomen.



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